圣杯问题V：全纯微分(下)——完结篇

顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）

图10. 亏格为3的曲面上的叶状结构。

全纯二次微分的水平轨迹构成了曲面的一个叶状结构（Foliation），同样的，其铅直轨迹也构成了曲面的另一个叶状结构。所谓叶状结构就是将曲面分解为曲线的并集，每一条曲线被称为是一片叶子。每片叶子没有自相交，任意两片叶子没有交点。局部上看，相差一个微分同胚，叶子们彼此平行。每片叶子有可能是有限的圆，也有可能是无限的螺旋线。如果一个叶状结构的所有叶子都是有限圆，则这一叶状结构被称为是有限的。

大致而言，曲面上两个叶状结构和彼此等价，如果存在曲面的自微分同胚，同胚映射将映到。那么曲面上任给一个叶状结构，则存在一个全纯二次微分，的水平轨迹和等价。有限叶状结构对应的全纯二次微分被称为是Strebel Differential。我们知道，所有的全纯二次微分构成线性空间，根据黎曼-罗赫定理，此空间实维数为6g-6，这里g是曲面的亏格。由此，如果我们掌握了全纯二次微分的计算方法，理论上我们就可以构成所有的叶状结构。圣杯问题的关键就在于寻求特殊的叶状结构。

整体来看，曲面上给定一族不相交的简单闭曲线，这些曲线将曲面进行“裤子分解”，使得每个连通分支是带3个边界的拓扑球面，则存在一个Strebel Differential ，过零点的水平轨线将曲面分解成拓扑环带，每个环带的基本群都是由一条给定的闭曲线生成。诱导的度量为每个拓扑环带配上了平直度量，后继的四边形网格化变得简单直接。同时的零点结构非常标准，当表面四边形网格向内拓展成六面体网格时，体内的奇异曲线的条数最少，结构最为简单。这为体样条的生成带来了极大的便利。

当晚，丘先生在麻省理工附近的五月花餐馆宴请大家，龙虾石斑，牛蛙刀蚬，异常丰盛，足见丘先生的欣慰之情。席间，丘先生郑重叮嘱老顾团队：“全纯二次微分对于共形结构的模空间至关重要；下一步，我们应该探索高阶全纯微分的计算方法，以及射影结构的模空间。”

一句话再度令老顾血脉贲张，为未来十年指明了努力方向。虽然目前没有人能够看出射影结构模空间的实际应用前景，但是老顾相信历史会再度重演。只要我们能够算出大自然内在几何结构的一部分，那么迟早人类的技术能够追赶上来，使得这一结构在实际领域中发挥根本的作用！

一年来的奔波劳顿，使得心灵又磨出一层老茧。感恩节降临，终于有时间和灵魂独处，内心也变得些许柔软。回顾十数年来的求索历程，宛若一名孤独的朝圣者，跋涉在优胜美地，虽然历尽艰辛，但是领略了大自然的雄奇壮丽。从数百年前黎曼开创的黎曼面理论，到阿尔福斯创立的拟共形几何理论，再到泰西米勒发展的泰西米勒空间理论，直至Strebel的全纯微分理论，一路走来，领悟了历史上许多大师的深邃哲思，既到达过人迹罕至的原始山林，也直面过峥嵘万仞的绝壁。为了将这些精美绝伦的抽象数学转化为平易近人的算法程序，只是追随前人数学家的足迹是远远不够的，绝大多数的时候需要辗转腾挪，独辟蹊径。生活的常态就是经年累月的殚精竭虑，冥思苦想。在抵御外在物质世界诱惑的同时，更为困难的是抵抗自身犹疑畏惧，轻言放弃的心魔。这种精神上的苦修，如人饮水，冷暖自知。当看到一个个以前只能用思想触及的几何结构，渐渐可以用计算机程序来把握，一个个数学定理渐渐融入计算机科学，那种精神上的满足，无法用语言来形容。

这条朝圣之路非常艰辛，这种苦修的学术之路和当代社会盛行的价值观念背道而驰。首先这需要纯粹数学和计算机科学两方面的知识结构，理论证明和工程实现两种不同的技巧，因此需要更长时间的学习和磨炼，而这是以青春为代价。其次，目前在学术标准日益被商业准则同化的氛围下，理论的深刻性和严格性让位于含混唯像的实用性。在过去，我们花了两年提出了高效的算法，却花了五六年来证明这一算法的严格性，这在当今工程领域被视为是保守迂腐的做派。特别是目前青年学者的生存压力空前巨大，在浮躁高压体制下花费五六年来完善一套理论无异于学术自 杀。很难想象会有年轻人为了美学价值而置身家性命于不顾，为了科学的纯洁崇高而主动殉道。对于青年学生而言，研习抽象深刻的几何理论无异于学习屠龙之术，青春耗尽而市场并无需求。相反的，有人只学习了表象的算法，虽然知其然却不知其所以然，却可以迅速创业，融资千万。更有很多学者学生，苦心孤诣，不懈求索，但却不被人理解。尤其是朋友家人用世俗的观念来衡量他们付出的心血，埋怨责骂，嘲笑讥讽。在强大的世俗压力下面，他们承受着难以想象的折磨和愤懑。这一切，每天都在老顾身边的朋友中发生。

在过去的一年中，依然有许多学者学生认同老顾的理念，主动和老顾合作，与老顾一同不改初衷，苦苦求索。更有很多长辈师长，对于老顾的研究工作大力支持，无私帮助。对于这些志同道合的师长和朋友，老顾诚挚地感激他们的学术支持，更由衷地敬佩他们的人格力量。对于那些依然在苦苦支撑的青年学者学生，老顾相信他们艰苦卓绝后终成大器。沧海横流，方显英雄本色！

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