有限元基础（二）----单元

单元是有限单元的简称，单元是对问题区域的几何离散。在有限元计算过程中，在结构（结构决定了基本方程和边界条件方程的形式）确定的情况下单元还需要包含几何、材料参数、物理参数三方面的信息。

在几何上按照求解问题物体形状的几何测度（几何维），有限单元可分为一维、二维和三维单元。一维单元是对问题可以抽象为一维几何形状物体的离散，例如工程中的杆件结构、弦等；二维单元是对问题可以抽象为二维几何形状物体的离散，

例如平面问题、薄板壳结构等；同样的三维单元是对三维几何形状物体的离散。其中三维问题最有广泛意义。除此之外，还有一些应用领域特殊的单元，例如在固体力学有限元方法中，存在质点单元、刚体单元、弹簧单元、阻尼单元、粘弹性单元和伪单元等一些特殊的单元。基本的有限单元除了按照几何测度分类外，根据单元的插值函数多项式阶数的需求，

在单元的边界线（见图1）上，可以有两个节点、三个节点甚至四个节点，分别称线性单元、抛物线单元和三次抛物线单元。边界上的节点的数量越多，插值函数多项式的阶数也越高，问题求解的精度也越高，但是求解问题的未知数数量也随之增加。

图1

对于特殊情况，除了单元边界上存在节点外，单元内部也可能存在节点（见图2）。

图2

每一个单元必须选择一种材料（一种材料可以有多个单元），在固体力学中，材料参数是根据材料本构关系需要而确定需要什么参数，与问题结构无关。材料性质可以分线弹性材料、弹塑性材料、蠕变材料等。不同材料有不同的材料选择模式。对于各向异性材料需要输入不同方向的材料参数。材料性质是由材料参数表描述，材料的参数可以独立与单元存在，可以在单元生成之前建立。

物理参数是对单元几何特性的补充，例如二维单元的厚度、梁单元横截面的性质等。单元厚度是二维单元向第三个几何方向的几何补充，梁横截面是一维单元向第二、第三个几何方向的几何补充。与材料特性一样，物理参数也是单元计算中需要的参数，可以在网格生成前建立。但并不是所有单元都需要物理参数，是否需要取决求解的问题结构，对于平面应变、板壳单元，需要参考单元厚度物理参数，对于梁单元，需要参考梁横截面物理参数，而对于平面应力、轴对称、三维等问题，则不需要物理参数。

单元几何分类

1、一维基本有限单元在固体力学有限单元方法中，一维单元主要用来解决杆件与绳结构问题，像桁架、框架、网架和悬索等结构，所以一维单元在土建工程中有着广泛的应用。一维线性单元、抛物线单元和三次抛物线单元（见图1）。

2、二维基本有限单元二维基本有限单元分三角形和四边形两种基本几何形状，平面单元适应平面问题和空间曲面的几何区域离散。在固体力学中，平面单元用在平面应力、平面应变、轴对称、板壳等结构等的有限元方法中。三角形和四边形型单元又分线性单元、抛物线单元和三次抛物线单元（见图2）。

3、三维基本有限单元三维基本有限单元分四面体、五面体和六面体三种基本几何形状，原则上讲，三维有限基本单元内部也可以有中间节点，但是使用情况比较少，在图3中没有绘出。图3中把单元边界都绘制成线性边界，实际拟合是可以用曲线和曲面。三维单元适应任何能够适用有限元方法三维问题的几何区域离散问题。

图3

单元的几何协调条件

单元是对求解问题几何区域的离散，离散后，问题的几何区域被单元的集 合所替代。为了保持所求解状态结果的连续性和一定的精度，单元的划分并不是随意的，必须满足一定的几何协调条件和形状要求。显然，单元的几何性质是由节点控制的，节点的状态解构成了有限元的最终解。

在生成的网格中，单元与节点必须保证协调性：

1. 对于连续的区域，在离散后，单元与单元之间不能重叠，非边界单元的单元边界与另外单元的边界公享，公享部分的单元边界包括公享单元面、单元边和单元节点；

2. 单元的形状不能太奇形，理想的形状是等边和等角度的几何形状。

本文转自【有限元联盟】