非线性有限元基本概念

参考资料：

[1] 清华大学教学课件《有限元法应用》

[2] 非线性有限元书稿

实际的结构问题往往都是非线性的，而且考虑了非线性肯定是最准确的，但很多情况下没有必要采用非线性解法，因而出现很多的线性问题。线性问题和非线性问题目前多采用有限元法进行求解计算，尤其是非线性问题。

在线性有限元分析中作了以下假设：

（1）小位移（小变形）；

（2）材料线弹性；

（3）边界条件不变。

最终线性有限元归结于求解线性方程组的问题：

这个方程肯定不陌生，[K]是刚度矩阵，[δ]是节点自由度，[P]是节点载荷。

事实上，在计算单元刚度矩阵时，积分是在单元的初始体积内完成的，也就是将结构变形后的体积用变形前的体积来描述，这正是基于小变形假设而来的；而单元的应变与位移关系满足转换矩阵B，B与单元节点位移无关，这正是基于小变形假设而来的；应力与应变关系满足材料常数矩阵D，这正是基于材料的线弹性假设而来的。

一旦不满足上述的三个假设，结构的力学行为将出现非线性。

基于以上，可以看出来，非线性问题一般分为以下几种：

（1）材料非线性，也即应力与应变之间的关系不是单纯的矩阵D；材料非线性包括非线性弹性，即类似橡胶的超弹性材料，混泥土的次弹性材料，金属的弹塑性，粘弹性材料（应力松弛和蠕变），以及粘弹性（主要是聚合物材料）。

（2）几何非线性，包括大位移和大变形；

（3）接触非线性。这类问题的边界条件在求解之前是未知的，是求解的结果。

上面式子是线性问题的方程组，而非线性问题依然归结于求解方程组的问题：

刚度矩阵不再是常数，而是和变形有关。

求解非线性问题的方法有几种：

（1）增量法

增量法将施加的载荷分成许多增量，逐步施加增量，逐步求解，在每一步中将刚度矩阵处理为常数，当然，每一步刚度矩阵的值不同。增量法是用一系列的线性问题去近似非线性问题。而计算不同载荷步时的刚度矩阵有始点刚度法和中点刚度法。

始点刚度法，顾名思义，将第i-1载荷步末的刚度矩阵来作为第i步的刚度矩阵来计算。该种方法精度较低。

中点刚度法是采用平均刚度，也即先用Ki-1计算初步的位移增量，再有初步计算后的位移计算第i步末的刚度矩阵Ki，将Ki-1与Ki平均，当做第i步的刚度矩阵，再计算第i步的位移增量。改进后的中点刚度法是将初始载荷步计算到载荷增量的一半。

（2）迭代法

迭代法求解非线性问题时一次施加全部载荷，然后逐步调整位移，最终使位移满足上述方程。

具体包括直接迭代法和牛顿-拉夫逊（Newton-Raphson）.

直接迭代法先给出初始近似解，根据初始近似解求出初始刚度矩阵，代入非线性方程组可以求得第一个改进的近似解，一直重复这样的过程，最终使得前后两次的求解结果充分接近为止。

至于收敛准则有位移准则和力准则，判定两次求解结果接近的程度，在软件里默认的一个很小的系数，这个系数貌似可以自己修改。

牛顿法的原理如图所示：

对于单变量的非线性方程f(x)=0，在x0点泰勒展开，得到f(x)=0在x0附近的线性化近似方程：

一直重复，最终趋近于真实解。

混合法即是同时利用增量法和迭代法，把载荷划分为较小的几个增量，对每一个增量进行迭代计算。