有限元理论的节点解与单元解续
《有限单元法》 王勖成编著 北京，清华大学出版社，2003
更详细地内容可以参考此书，尤其是相关公式推导。
对于结构分析而言，采用有限元理论分析时，最先得到的是各单元节点处的位移，之后根据弹性力学的方程得到单元内的应力，再外推得到各个单元节点处的应力，最终采用一些处理方法让单元节点的应力场连续，得到整个结构的应力场。
单元内的应力与应变根据节点位移场的计算公式如下：
ε=Bar, σ=Dε=DBar
其中D是弹性矩阵，和材料的材料属性相关，而B为单元的应变转换矩阵，是差值函数对坐标进行求导后得到的矩阵，每求导一次插值多项式的次数就降低一次，因此通过导数运算得到的应变与应力比位移的精度降低。
应力解的近似性表现在：
1. 单元内部一般不满足平衡方程；
2. 单元与单元的交界面上应力一般不连续；
3. 在力的边界上一般也不满足力的边界条件。
单元内的应力解与真实应力解存在一定的偏差，而且这种偏差是振荡的，因此，在单元内必然存在最佳应力点。
数值计算时的积分方法有Newton-Cotes积分和高斯积分，两种积分方法都有其积分点位置，对一个固定的单元有其固定的积分点，并且高斯积分相对来说达到的精度更高。
在书中经过验证，高斯积分点即是单元的最佳应力点。
采用位移场得到的位移解在全局都是连续的，应变和应力在单元内部是连续的，而在单元之间则一般不连续，也即在单元边界上发生跳突，因此同一个节点，由围绕它的不同单元计算得到的应变值和应力值通常不同。
图1 常见的平面单元最佳应力点位置
为了得到连续的应力场，需要做一些处理，处理的方法有好几种：
1. 单元平均
这种方法比较简单，取节点的相邻单元应力做平均值：
平均应力=（单元1应力+单元2应力）/2
也可以采用精确一点的面积加权平均，也即是将每个单元的应力乘以面积后相加，最后除以所有相邻单元的面积之和。
2. 单元平均
这种处理方法将围绕某个节点的所有单元在这个节点处的应力值加和求平均。
3. 总体应力磨平
总体应力磨平方法是构造一个改进的应力解，此改进的解在全局是连续的，改进后的解与有限元法求得的应力解应满足加权最小二乘的原则，对于由4个单元组成的网格，总体应力磨平后示意图如图2.
图2 总体应力磨平示意图
这种方法的主要缺点是计算量很大，基本上相当于做了两次有限元计算。
4. 单元应力磨平
这是为减少改进应力结果的工作量而采用的方法。单元磨平方法的主要缺点是仍然未能充分利用单元的最佳应力点具有高一阶精度的特性。
5. 分片应力磨平
该方法是能够有效解决总体应力磨平和单元应力磨平的缺点。
