刚柔耦合动力学分析概述

根据力学的基本原理,基于不同的建模方法,得到形式不同的动力学方程,尽管在理论上等价,但是其数值性态的优劣不尽相同.衡量一个学科成熟度的标志之一就是清楚地理解不同方法之间的关系.显然,评价一个刚柔耦合系统动力学模型的优劣的重要标准应该是该模型是否能够可靠与高速处理各种动力学现象.通常解的精确与计算所要付出的代价是一对矛盾,因此有必要对各种建模方法进行对比研究.

下文对柔性多体系统动力学研究的若干阶段和研究现状进行回顾;对已有的刚柔耦合动力学建模方法进行总结;提出了一系列指标对这些建模方法进行评估;并对今后刚柔耦合动力学建模理论的研究方向进行展望

1. 刚柔耦合动力学发展现状

到目前为止,柔性多体系统的建模理论的发展大体可以分为4个阶段.

(1)运动2弹性动力学建模方法.该方法的实质是将柔性多体系统动力学问题转变成多刚体系统动力学与结构动力学的简单叠加,忽略了两者之间的耦合.随着轻质、高速的现代机械系统的不断出现,该方法的局限性日益暴露出来.

(2)混合坐标建模方法.该方法首先对柔性构件建立浮动坐标系,将构件的位形认为是浮动坐标系的大范围运动与相对于该坐标系的变形的叠加.提出了用大范围浮动坐标系的刚体坐标与柔性体的节点坐标(或模态坐标)建立动力学模型.混合坐标建模方法虽然考虑了构件弹性变形与大范围运动的相互影响,但对低频的大范围刚体运动和高频的柔性体变形运动之间的耦合处理得过于简单.从实质上讲这种方法是一字零次近似的刚柔耦合方法.

(3)动力刚化问题的研究.1987年,Kane等[4]对作大范围运动弹性梁进行了研究,指出了在采用零次近似耦合模型处理高速旋转的悬臂梁的动力分析中将产生发散的错误的结论,并提出了动力刚化的概念.近20年来,国内外研究的核心是对上述模型采用各种方法“捕捉”动力刚度项,以期对传统混合坐标模型进行修正,得到了高速旋转的悬臂梁不发散的结果.

(4)一般刚柔耦合动力学问题的研究.动力刚化只是刚柔耦合动力学的一种特例情况,其实质是一个非惯性系下的结构动力学问题.近年来,Liu、Yang等[5,6]从连续介质力学的基本原理出发,建立了较传统混合坐标模型(零次近似模型)更精确的一次近似的数学模型.

2. 刚柔耦合动力学建模方法

柔性体建模方法根据参考坐标系选取的不同,可以归为3类:浮动坐标系方法、随转坐标系方法和惯性坐标系方法.浮动坐标系方法是将多刚体动力学与结构动力学结合的一种方法,这种方法使多刚体动力学软件扩展应用于柔性多体系统成为可能.它可以充分利用模态技术,对于小变形和低速的大范围运动的情况有较佳的计算效率与和精度,是目前柔性多体系统建模使用最广泛的方法.随转坐标系方法源于计算结构动力学.惯性坐标系方法源于大变形非线性有限元.针对动力刚化现象和刚柔耦合问题,国内外学者做了大量的研究,提出了不同的观点和方法,下文将进行概括和总结.

2.1 浮动坐标系方法

(1)初始应力法.Banerje认为增加的动力刚度是由于大范围运动所产生的惯性力作用在未变形柔性体上所产生的初始应力而引起的,并将其产生的动力刚度称为大范围运动诱发刚度.该方法将大范围运动所产生的惯性力分为12个惯性力和9个惯性力偶,然后采用结构力学中的单位力法形成动力刚度阵,附加到传统的混合坐标动力学模型上形成新的系统动力学方程.该方法适用于任意柔性体且动力刚度阵可以一次形成,无需重复迭代求解,计算效率高,但是该建模方法在理论上未得到严格证明.

(2)几何非线性法.Mayo等认为增加的动力刚度是由于柔性体大挠度产生的应变与位移之间的几何非线性关系所引起,并将其得到的刚度称为几何刚度.该方法在求系统的应变能时引入了应变与位移的几何非线性关系,将非线性项表示为与节点位移有关的几何刚度阵.但是在计算几何刚度阵时需要对位移的非线性项积分,表达式及其复杂,难以应用

(3) 几何变形约束法.Kane等对作大范围运动的悬臂梁的变形位移作了较精确的几何描述,将梁非中线上一点的纵向变形位移用中线上对应点的轴向伸长s和耦合变形项表示,得到动力刚度矩阵是常值矩阵,计算效率较高.在此基础上,Baner研究了作大范围运动的板,但这种方法难以推广到柔性多体系统.

(4)变形耦合方法.Zhang等认为柔性体刚度的减弱是由于在运动学关系中过早地对变形的广义坐标进行了线性化,忽略了导致刚度增加的非线性项.因此,为了保留弹性变形耦合的非线性特征,将柔性体的变形场用广义坐标的2阶小量进行描述,利用非线性的应变和变形位移的关系式和小变形假设,得到耦合模态形函数的表达式,最终形成一致线性化的动力学方程.由于此方法局限于将变形场用模态形函数来表示,其计算精度取决于模态形函数和真实模态形函数的近似程度,而且取几阶模态也较难确定.为了将此方法与有限元法相结合,王建明等将梁单元内中线上任意点的位移表示为单元节点位移的非线性插值形式,同理求出单元耦合形函数阵,但是由于单元耦合形函数和变形位移只满足部分边界条件,不能保证有限元各单元节点变形位移的连续性

 (5)子结构法.Liu等将柔性体分成若干个子结构,虽然柔性体整体的位移-应变关系是非线性的,但是在子结构内部,位移-应变的线性化假设仍然成立.用假设模态法或线性有限元处理子结构的内部变形,子结构边界公共节点通过定义其位移约束方程来表示相邻子结构之间的位移协调性.但此方法结果明显依赖于子结构的数目,且在子结构的对接面上必须引入约束方程以满足变形的连续性.对复杂的大型结构,此方法的计算工作量非常大.

(6)基于轴线积分的一次近似耦合模型.Liu、Yang等提出的一次近似耦合模型是利用中线(面)耦合变形得到耦合变形阵,从而建立更高阶的耦合模型.传统线性变形场就是不计二次耦合项,当柔性体的大范围刚体运动速度不高时,二次耦合项对系统动力学性质影响较小;但是,当大范围刚体运动速度或加速度较大时,二次耦合项与大范围运动的耦合将对系统动力学性质产生大的影响.一次近似模型已经从数值仿真和物理实验两方面验证了变形场的高阶耦合项将对刚柔耦合系统的动力学特性产生大的影响,这也是动力刚化现象产生的本质。

2.2 惯性坐标方法

(1)非线性有限元法.Simo等认为增加的动力刚度项是由于柔性体的大应变而引起.在结构动力学非线性有限元方法的基础上,将柔性体的大范围运动及其变形运动统一采用相对惯性坐标系的节点位移来表示,得到的动力学方程中包含了由于大应变带来的非线性项,然后作为假设将该项化作与大范围运动有关的动力刚度项,发展了能够处理小变形大应变柔性体的非线性有限元模型,但以上方法仅限于梁式构件,计算效率非常低,无法应用到复杂的柔性多体系统动力学分析。

(2)绝对节点坐标方法.Sugiyamaa等提出了绝对节点坐标方法,不再区分物体的刚体运动和变形,采用一致质量有限元对柔性体进行离散.在绝对节点坐标方法中,有限元的位形是在惯性系下的绝对位移坐标和斜率定义的,梁单元和板单元可以作为等参元处理.但是绝对节点坐标法的定义决定了它无法区分刚体运动和弹性变形,即使是小变形也要按照大变形的方法处理.

2.3 随转坐标系方法

随转坐标系方法源于计算结构动力学,最早是由Argyris等提出作为固有模态方法的一部分而发展起来的.随转坐标系随弹性体内部的每个单独的有限元的平均刚体运动而运动.这种方法被用于大位移,大转角和小应变结构的建模.Belytschko等引进单元刚性轮转坐标系或随转坐标系,用于平面连续体和粱型单元的动力学建模.

2.4 综合方法

近年来还有研究者综合以上几类方法进行研究,可称之为综合方法.

(1)浮动坐标系上的绝对节点坐标方法.

Garcia2Vallejo等在浮动坐标系上采用绝对节点坐标法建模理论,研究了大范围运动已知的平面梁的动力刚化问题.刘锦阳等在浮动坐标系上采用绝对节点坐标法建模理论,在小变形的假设下,建立了做大范围空间运动的柔性梁的刚柔耦合动力学模型.

(2)浮动坐标系上的随转坐标系方法.尤超蓝基于有限元技术,在浮动坐标系上使用随转坐标系建模方法,建立了作大范围运动的平面梁和板的刚柔耦合动力学模型.广义坐标采用浮动坐标系上的节点位移坐标,在随转坐标系上进行插值.插值单元内部的变形只与本单元的节点位移与转角有关,从通用性的角度对一般刚柔耦合动力学建模跨出了很大的一步。

 3. 建模评价方法

下文从以下几个指标来考核刚柔耦合动力学建模理论:①科学性,应该从严格的理论推导得到,而不是通过猜测捕捉得到;②通用性,即可以推广到不同连续柔性体构件,而不能像已有的一次耦合模型依赖于沿整个轴(面)积分;③识别性,能够区分刚体运动和弹性变形;④兼容性,能够退化为零次耦合模型;⑤高效性,即具有较快的计算速度.

下面根据评价指标对建模方法进行分析:

(1)科学性.科学性是所有评估指标中最重要的.初应力法虽然具有较高的计算效率,但是其在未变形柔性体上所产生的初始应力的假定在理论上未得到严格证明.变形耦合方法(有限元)中,单元耦合形函数和变形位移只满足部分边界条件,不能保证有限元各单元节点变形位移的连续性.子结构方法没有给出如何选取子结构数目和大小的规则.

(2)通用性.基于轴线积分的一次近似模型揭示了刚2柔耦合的本质,但是其对非线性变形场的描述并不完美.一次近似模型的耦合型函数阵从梁(或板)的端点沿整个轴(面)积分,这就限制了其应用范围只能是直梁、矩形板等具有规则外形的柔性体,对于像中间有孔或不规则形状的板等一般柔性构件,基于轴线积分的一次耦合模型则无能为力.

(3)识别性.采用浮动坐标系方法的都可以区分刚性运动和弹性变形.惯性坐标系方法和随转坐标系方法的建模理论决定了它们不区分刚性运动和弹性变形,不便于进行结构强度分析.

(4)兼容性.零次耦合模型在处理某些刚柔耦合问题时具有足够的精度,计算工作量较小.针对当前处理柔性多体系统动力学问题的方法大多是基于零次耦合模型的现状,刚柔耦合动力学理论应该具备兼容性,在一定条件下能够退化为零次耦合模型.惯性坐标系方法由于采用的广义坐标为单元节点和斜率,无法退化到传统的线性有限元坐标.浮动坐标系上的随转坐标系方法中广义坐标定义在浮动坐标系上,然后在单元随转坐标系上线性插值,但在浮动坐标系上是高度非线性耦合的,也无法退化到零次耦合模型.

(5)高效性.初应力法、基于轴线积分的一次近似方法和变形耦合方法(有限元)质量阵和刚度阵中的与积分相关的项都是一次生成,具有较高的计算效率.

4. 进一步研究的意义

进一步研究刚柔耦合动力学建模理论具有重要的意义,大致有以下几项内容:

(1)刚柔耦合动力学建模理论研究.建立同时满足以上评价指标的通用一次耦合动力学模型,并将其拓展到较复杂的刚柔耦合动力学系统.研究对象包括梁和板等复杂连续柔性体构件;运动形式从平面转动拓展到更复杂的耦合运动形式.研究的关键问题是如何合理地描述复杂结构变形场的高阶耦合项,评价这些高阶变形项与

大范围运动耦合的效应.

(2)刚柔耦合动力学计算方法研究.研究刚柔耦合理论应用于柔性多体系统程式化建模,便于计算机实现.再进一步对该模型的计算方法进行研究,提出高速、高精度、稳定的算法成为理论成果转化为生产力的关键.

(3)刚柔耦合系统实验研究.一方面要通过设计新试验来验证刚柔耦合理论,另一方面通过试验可为进一步深入进行理论研究提供重要的启示,从而推动新理论的发展.同时还可以对物理试验和仿真的配合使用做进一步研究.

来源：WELSIM