圣杯问题VI：广义调和映照

顾险峰 纽约州立大学石溪分校

 计算机与应用数学系 终身教授

图1. 西蒙斯几何物理中心。

2017年四月17日至21日，“离散和计算几何春季学校”（SCGP Spring School on Discrete and Computational Geometry）在纽约石溪召开。纯粹数学、计算数学和计算机科学领域的众多学者欢聚一堂，共同探讨离散几何的发展前沿问题。会议在西蒙斯几何物理中心（Simons Center for Geometry and Physics）举行，环境优美，气氛温馨。西蒙斯先生（Jim Simons）是陈省身先生的高足，丘成桐先生的师兄，陈-西蒙斯示性类（Chern-Simons Characeteristic Class）的发现者，文艺复兴公司（Renaissance）的创始人。文艺复兴公司是华尔街金融届的翘楚，西蒙斯先生富可敌国，独力资助了美国一半的理论物理博士后职位。

在会议上见到了许多新朋老友，聆听了他们精彩纷呈的演讲。克朗所的叶奇教授（Chee Yap）介绍了计算几何的数值稳定性问题，意犹未尽，醇厚绵长；俄亥俄州立大学的王欲甦教授详尽系统地讲解了计算拓扑中的Persistent Homology理论，雄浑壮阔，恣肆汪洋；麻省理工大学的Scott Sheeld讲解了随机几何结构，将概率、共形几何、量子物理有机结合，绚丽奥妙，神秘深邃；石溪的高洁教授讲解了Ricci流在互联网、社交网络中的应用，深刻隽永，潜力无限。沃尔夫奖得主，拓扑领域的泰斗Denis Sullivan教授也参加了绝大多数的演讲，和演讲者积极互动，才思敏捷，异常亢奋。在会议上老顾也遇到了一位年轻才俊，布朗大学数学系的林伟扬教授 Lam, Wai Yeung (Wayne）。林教授在香港中文大学求学期间，得到雷诺铭教授的指导，研习了老顾的《计算共形几何》，从而对共形几何产生浓厚兴趣。后经雷教授的推荐，到德国柏林追随Ulrich Pinkall教授进一步深造，提出了一种离散全纯二次微分的方法，并将其应用于离散极小曲面的构造，其观点高屋建瓴，其理论精巧优美。老顾看到了一颗学术界的新星，正在冉冉升起。看到自己的学术工作，在世界范围内激发了年轻一代学者的成长，老顾倍感欣慰。

图2. 拓扑复杂实体的神圣网格（holy grid）。

这一周，老顾在自己的《离散几何》课程上正在讲解神圣网格问题（Holy Grid）和全纯二次微分（Holomorphic Quadratic Differential）。我们前面系统介绍过背景知识（圣杯问题 I,II,III,IV,V），在计算机辅助设计CAD和计算机辅助制造CAE领域，网格生成（Mesh Generation）具有根本的重要性。结构化六面体网格的自动生成问题，一直是这些领域最为挑战性的问题，被称为是神圣网格问题。近些年来，依随等几何分析（isogeometric analysis）方法的兴起，神圣网格问题的解决变得愈发迫切。大连理工大学的罗钟铉和雷娜教授团队和我们团队合作，共同提出了基于曲面叶状结构（foliation）理论的方法，来自动生成神圣网格【1】。这种方法理论严密，算法自动，六面体网格全局结构化，保证奇异点和奇异线的数目达到理论下界。其基本指导思想如下：给定一个实体（volume），如果存在一个结构化的六面体网格剖分，则在体表面诱导了一个结构化的四边形网格剖分，如果我们将四边形网格不停地细分，其极限是两个相互横截的叶状结构。因此我们需要首先计算叶状结构。曲面上的叶状结构和曲面上的全纯二次微分等价，问题归结为如何计算曲面上所有的全纯二次微分。

图3.曲面上的叶状结构（foliation），诱导了图2中的神圣网格。

在课堂上，计算机科学背景的学生们都觉得虽然叶状结构的概念非常直观，但是全纯二次微分（holomorphic quadratic differentials）的概念过于抽象。显然，当数学家们提出这一概念的时候，并没有等几何分析，或许他们也不知道神圣网格问题。那么问题自然就提出来了：数学家为什么要提出这个概念？这个概念是人为的还是自然的？这个概念为什么没有被历史所淘汰？

相对于工程应用，数学家们最为关心的是自然界的各种结构，和这些结构之间的内在关系。全纯二次微分概念的凝练和提出原本就是为了解释一些拓扑和几何结构。我们可以从三个不同的理论角度来阐释。

图4. 曲面的共形结构。

给定一张拓扑曲面，被开集族覆盖，每个开集被一个拓扑同胚映到复平面上的一个区域，则构成局部坐标卡（local parameter chart），所有的局部坐标卡构成曲面的一个图册（atlas）。如果两个局部坐标卡有交集，，则我们得到坐标变换（chart transition）：

,

如果所有的坐标变换都是双全纯函数（biholomorphic），则图册是一个共形图册。最大的共形图册被称为是共形结构。拓扑曲面上所有的共形结构构成了一个黎曼流形，即所谓的泰希米勒空间（Teichmuller Space）。如果曲面的亏格为，则相应的泰希米勒空间为维。

考虑曲面的一个自同胚，假设同伦于恒同映射。将曲面的一个共形结构映射到另外一个共形结构。我们将映射限制在一个局部坐标卡上，假设局部坐标是，则映射的Beltrami微分具有形式：

。

映射和其Beltrami微分彼此相互决定。如果Beltrami微分恒为0，则映射为共形映射。

映射自然带来共形结构的畸变，如何从Beltrami微分和初始共形结构来估计畸变是一个基本问题。由于这个问题的非线性本质，我们无法给出全局的精确估计。但是，我们可以给出无穷小估计：考察单参数变换族，其对应的Beltrami微分为，则共形结构畸变的一阶导数可以计算出来。假设初始共形结构上全纯二次微分的基底为,

,

则共形结构畸变的导数由如下积分所决定：

,

如果所有的积分为0，则在无穷小意义下，映射保持共形结构不变。

由以上论述，我们可以把Beltrami微分看成是Teichmuller空间的切空间（Tangent Space），把全纯二次微分看成是Teichmuller空间的余切空间（Cotangent Space）。它们之间的相互作用，决定了共形结构的形变（deformation）。

在计算机视觉领域，曲面间的映射一直是根本问题之一。迄今为止，在工程领域共形结构的形变理论还没有被探索开发，其本质困难在于对于理论的理解和掌握，以及精确高效的全纯二次微分计算方法。

图5. 曲面的双曲结构，及其诱导的复射影结构。

给定一张拓扑曲面，配有共形结构，共形结构容许的黎曼度量(Riemannian Metric)具有形式：

,

根据单值化定理（Uniformization），存在唯一的共形结构容许的黎曼度量，其诱导常值高斯曲率。如果曲面亏格大于1，则高斯曲率恒为-1，度量被称为是双曲度量。我们可以将曲面的万有覆盖空间（universal covering space）等距地嵌入到双曲平面之上，如图5所示。这里，我们用庞家莱圆盘（Poincare's Disk）来表示双曲平面，

庞家莱圆盘上的所有双曲等距变换都是所谓的默比乌斯变换（Mobius Transformation），具有形式：

,

一般的默比乌斯变换是定义在复射影空间上的，，

。

这样，万有覆盖空间的覆盖变换群（covering transformation group）成为默比乌斯变换的子群。由此，我们可以构造曲面的一个图册，使得所有的坐标变换都是默比乌斯变换。这样的图册被称为是复射影图册（Complex Projective Atlas），最大的复射影图册被称为是复射影结构（Complex Projective Structure）。

根据定义，我们看到复射影图册必为共形图册，因此复射影结构必为共形结构。不同的复射影结构有可能对应同样的共形结构。假设和是两个复射影结构，对应同样的共形结构，是它们之间的共形映射。我们选取局部共形参数，映射具有局部表示：，为双全纯映射。直观而言，Schwartz导数衡量了全纯函数和默比乌斯变换之间的差距。的Schwartz导数（Schwartzian Derivative）定义为：

可以证明，如果映射为双全纯，则其对应的Schwartz导数为全局定义的全纯二次微分；如果映射为默比乌斯变换，则其对应的Schwartz导数恒为0。因此，全纯二次微分参数化了给定共形结构上的所有复射影结构。复射影结构的模空间为维。

迄今为止，在工程领域，没有构造曲面上所有复射影结构的算法。这一优美的几何结构在计算机辅助设计领域必然会有重要应用。

图6. 曲面的Pseduo-Anosov 自同胚，流体模式收敛到不变叶状结构。

曲面单值化定理（surface uniformization）断言，共形结构所容许的黎曼度量中存在一个常值曲率度量。如果曲面的欧拉示性数为正，零或负，则对应的度量为球面、欧式和双曲度量。这意味着带有共形结构的曲面可以配备三种标准几何。瑟斯顿（William Thurston）将这一定理推广至三维流形，断言三维流形具有8种标准几何。判定给定三维流形的标准几何成为低维拓扑的中心问题。

瑟斯顿的常用手法如下：给定一个封闭的三维流形，我们在其内部选择一张高亏格曲面，将三维流形沿着这张曲面切割开来，得到一个拓扑相对简单的三维流形。切割后流形的边界包含曲面的两个拷贝，，则存在曲面的自同胚，给出了边界的粘合方式。原始流形的拓扑取决于的拓扑和粘合方式。例如，我们构造曲面和单位区间的直积，然后用来粘合边界曲面和，得到封闭三维流形：

。

Nielsen-Thurston的曲面映射分类定理将曲面自同胚分成三类：

1. 周期映射，存在自然数，和曲面的恒同自映射同伦；

2. Pseudo-Anosov，存在两个横截的可测叶状结构，，映射保持叶状结构不变，,这意味着映射将纤维映到纤维，奇异点映到奇异点；同时测度线性变化，

   ；

3. Reducible，曲面上存在简单闭曲线, 映射将这些曲线重新排列；将曲面分割，映射限制在每个联通分支上都是Pseduo-Anosov。

图7. 带边界的双曲三维流形。

如上构造的三维流形，如果映射是Pseduo-Anosov的，则三流形为双曲的，即我们可以为之配备一个双曲度量。

目前，在工程领域，没有成熟算法来判定一个自同胚的类别，更没有算法来计算Pseduo-Anosov映射的不变叶状结构。

几何结构的形变、复射影结构的构造、低维拓扑问题的判定都具有根本的重要性，但是目前这些理论只停留在纯粹数学领域，依然未对人们的日常生活产生任何影响。其中关键的困难在于缺乏精确有效的手段来计算全纯二次微分（亦即曲面的叶状结构）。

长期以来，我们一直力图寻找切实可行的计算方法，尝试了五六种不同的理论，例如Strebel的变分理论，离散Square Tiling理论等。最早的突破来自于全纯一形式（holomorphic 1-form）的乘积方法。我们首先用Hodge理论计算曲面上全纯一形式的基底，然后计算基底间的乘积得到全纯二次微分。但是，这种方法无法保证所得的叶状结构是有限的（即每根纤维可能不是有限的封闭曲线，而是无穷长的螺旋线）。

后来，我们采用了Schoen-Gromov的广义调和映照理论。Richard Schoen是丘成桐先生的弟 子，他将丘先生的调和映照理论从光滑流形推广到一般的度量空间。我们以前简介过调和映照的基础理论（请查看漫谈调和映照 I,II，III）。

全纯二次微分和叶状结构的理论历史发展如下：Hubbard-Masur （【7】1979）证明了全纯二次微分和叶状结构的等价性；Jenkin（【3】1957）和Strebel （【4】1984）证明了满足特定组合、几何条件的全纯二次微分的存在性；Wolf（【5】1996）证明了全纯二次微分可以由广义调和映照得到；Schone-Gromove （【6】1992）证明了广义调和映照的存在性和唯一性。

我们的算法步骤大致如下：

第一步：如图8所示，程序自动、或者用户指定3g-3条彼此分离的简单闭曲线，我们称之为可容许曲线系统。这些曲线将曲面分解成2g-2条“裤子”，每条裤子是一个亏格为0的曲面，带有三条边界。

图8. 可容许曲线系统（Admissible Curve System）【2】。

第二步：如图9所示，我们构造所谓的裤子分解图。每一条裤子抽象成中的一个顶点，每条可容许曲线对应中的一条边。如果两条裤子以一条曲线为界，则在中所对应的顶点被所对应的边链接。然后，我们为中每条边附上一个正数，代表边的长度。那么成为一个带度量的图，一个距离空间。

图9. 裤子分解图（Pants Decomposition Graph）。【2】

第三步：如图10所示，我们构造从曲面到带度量的图的调和映射，，对应图上的任意一点，其原像是曲面上的一条纤维，顶点的原像是奇异纤维，由此我们得到叶状结构。图上的度量给出了叶状结构的测度，调和映射的Hopf微分即为可测叶状结构对应的全纯二次微分。

图10. 曲面上的叶状结构（foliation）。【2】

第四步：如图11所示，我们将曲面沿着奇异纤维切开，得到3g-3个圆柱面。圆柱面上的纤维可以看成是调和1-形式，我们计算其共轭的调和1-形式，构造全纯1-形式。全纯1-形式的平方给出了全局定义的全纯二次微分，如图12所示。

图11. Cylindric Decomposition。【2】

图12. 全纯二次微分。（holomorphic quadratic differential）【2】

图13. 结构化六面体网格。【2】

最后，我们由曲面的叶状结构得到表面四边形网格化，再将表面的四边形网格化向内部拓展，生成结构化六面体网格，如图13所示。这里需要用到实体参数化的技术。但是，虽然在图形学领域有一些体参数化的工作，迄今为止，并没有理论上严格保证所得映射为同胚的方法。现存的方法都依赖于一些不现实的前提条件。我们将会在下一讲给出理论严密的算法。

通过这次历史回顾，我们看到全纯二次微分理论发展的艰辛和漫长，同时体会到这一自然结构在低维拓扑、Teichmuller空间理论和复射影结构理论中的关键作用。我们刚刚找到切实可行的计算全纯二次微分的方法，这使得计算共形结构的形变、Pseduo-Anosov映射的不变foliation、构造复射影结构成为可能。这些问题非常基本，而又具有挑战性。虽然对于工程应用而言过于超前，但是它们是自然界的一部分，因而具有恒久价值。我们相信，这些深刻而优美的理论结果，迟早会应用于现实生活；我们期待更多的年轻学子，能够超脱生活的苟且，为解决这些基本问题而投奔远方。

历史上，具有革命性的技术就像强有力的引擎一样，声势浩荡地推动社会经济的发展；但是这些规模宏大的引擎都是被小小的火花塞所启动，那些微弱而又顽强的火花是人类永恒的好奇心 ......

References

1. N. Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y.-Y. Lin and X. Gu, Quadrilateral and Hexahedral mesh generation based on surface foliation theory I, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. In press, 2017 (316), 758-781.

2. N. Lei, X. Zheng, Z. Luo and X. Gu, Quadrilateral and Hexahedral mesh generation based on surface foliation theory II, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. In press, 2017.

3. J. A. Jenkins, On the existence of certain general extremal metrics, Ann.
595 of Math. 60 (1957) 440–453.

4. K. Strebel, Quadratic Differentials, Springer-Verlag, 1984.

5. M. Wolf, On realizing measured foliations via quadratic differentials of
harmonic maps to r-trees, J. D’Analyse Math (1996) 107–120.

6. M. Gromov, R. Schoen, Harmonic maps into singular spaces and p-adic
superrigidity for lattices in groups of rank one, Publ. Math. IHES 76 (1992) 165–246.

7. J.Hubbard，H.Masur，Quadrtic Differentials and foliations, Acta Math. (142) (1979) 221-274.