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傅里叶系列(三)— 相位谱

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相位谱



上次的关键词是:从侧面看,即为频谱。


这次的关键词是:从下面看,即为相位谱。


先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视,我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道,就是频率的通道,不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事:


先在纸上画一个 sin(x),不一定标准,意思差不多就行。好,接下去画一个 sin(3x)+sin(5x)的图形。别说标准不标准了,曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧?


好,画不出来不要紧,我把 sin(3x)+sin(5x)的曲线给你,但是前提是你不知道这个曲线的方程式,现在需要你把 sin(5x)给我从图里拿出去,看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。


但是在频域呢?则简单的很,无非就是几条竖线而已。所以很多在时域看似不可能做到的数学操作,在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分,这在工程上称为滤波,是信号处理最重要的概念之一,只有在频域才能轻松的做到。


再说一个更重要,但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除,还要计算微分积分,而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法。

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下面我们继续说相位谱:


通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。


基础的正弦波 A.sin(wt+θ)中,振幅,频率,相位缺一不可,不同相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱(振幅谱)是不够的,我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢?我们看下图,我们用 7 个波叠加的图。

鉴于正弦波是周期的,我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰,而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢?为了看的更清楚,我们将红色的点投影到下平面,投影点我们用粉色点来表示。当然,这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离,并不是相位。


这里需要纠正一个概念:时间差并不是相位差。如果将全部周期看作 2Pi 或者 360 度的话,相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘 2Pi,就得到了相位差。


在完整的立体图中,我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期,就得到了最下面的相位谱。所以,频谱是从侧面看,相位谱是从下面看。


注意到,相位谱中的相位除了 0,就是 Pi。因为 cos(t+Pi)=-cos(t),所以实际上相位为 Pi 的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是,由于 cos(t+2Pi)=cos(t),所以相位差是周期的,pi 和 3pi,5pi,7pi 都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi,pi],所以图中的相位差均为 Pi。


最后来一张大高 清:

来源:WELSIM
理论通用
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首次发布时间:2023-06-24
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WELSIM
一枚搞仿真的老员工
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