浅析吴文俊先生的示嵌类和示痕类

1年前浏览827

顾险峰纽约州立大学石溪分校

计算机与应用数学系终身教授

2017年五月13日，老顾受朋友之托来到阔别多年的麻省理工参加中国科协和吉林省联合主办的美东创业大赛。在会议上，老顾和很多老朋友久别重逢，特别是十四年未见的孙友顺博士。孙博士目前已是波士顿地区的华侨领袖，每年领导主持多次创业大赛。经孙博士的介绍，老顾结实了许多科学家、企业家和投资天使。作为一名评委，老顾有幸向很多科技前辈和青年才俊学习。创业团队来自全世界各地，创业主题涵盖了几乎当今工程和医疗的所有热门方向，人工智能、大数据、社交网络、虚拟现实、智能汽车、新型能源、纳米环保，基因测序，三维打印，精准医疗等等。创业项目展示的各种技术，琳琅满目，很多都有强烈的颠覆性。创业者们指点江山，豪情满怀；依随国力崛起，来自祖国的经济支持更是空前强大。这些都令人心潮澎湃，血脉偾张。创业大赛是在MIT的Stata Center举行，这是一个颇具魔幻色彩的传奇所在。

图1. 麻省理工大学的Stata Center

麻省理工大学的 Stata中心是Pritzker奖得主 Frank Gehry的旷世杰作。这座建筑狂野不羁，随心所欲，看上去时刻摇摇欲坠。倾斜的墙面，扭曲的屋顶；红砖、铝材、玻璃，各种材质杂乱无章；天蓝、明黄、赭红，各种颜色鲜明夺目而又冲突刺眼；整幢建筑犹如各种构件随机堆砌而成，彻底解构了有关建筑美学的一切标准，因而在历史上曾经引发了巨大的争议。其实这正是Gehry所要表达的哲学思想，惊世骇俗的建筑造型隐喻了科学研究所需要的核心精神特质：自由、创造、独立、果决、异想天开，无所畏惧！

老顾坐在Stata Center的一间会议室中参加比赛，四周墙壁由硬木装饰，呈现标准的圆柱形，天顶中央是六角形的天窗，采光充分，宽敞明亮。但是老顾隐隐地觉得哪里不对：墙壁笔直平整，中规中矩，环顾四周，看不到任何缠绕扭曲。但是老顾深知，Stata Center没有一间教室是“正常的”，如此正常的教室只能有一种可能：那就是观察者自身“精神错乱”！大惊失色之下，老顾小心翼翼地仔细观察，终于看出了端弥：地板和圆柱形的墙壁并不垂直。老顾无法直接判断是地板倾斜还是墙壁倾斜，最后通过测试重力方向，终于发现圆柱形墙壁的中轴线和铅直线呈数十度夹角。在这座令人迷狂的建筑物内部，一切空间和几何都是错乱的，不通过重力，只凭视觉人们无法直接判定垂直还是倾斜，光顺还是扭转，平坦还是弯曲。在这个空间中，人类直觉不再可靠，只能用严格的代数拓扑和微分几何的计算来取代生理的空间感知。对于空间扭曲的一个强有力的理论，就是吴文俊先生的开创的示嵌类和示痕类。

吴文俊先生为拓扑学很多方面的发展做出了不可磨灭的贡献，他的示性类理论彪炳千秋，他的示痕类和示嵌类理论具有极大的实用价值，非常值得我们后人进一步钻研和继承。这里，我们简略介绍示嵌类和示痕类的基本思想，希望能够对于工程实践有所启迪和帮助。

示痕类

我们用扭结来解释示痕类的来龙去脉。一个拓扑流形可以用不同的方式嵌入在另外一个流形之中：例如我们可以将一条圆圈以无穷多种不同的方式嵌入在三维欧式空间之中，每一种嵌入都得到一种扭结（knot）。不打结的嵌入方式被称为是平庸扭结。如果在物理上，我们能够将一个扭结逐渐变换成另外一个扭结，这意味着在渐变过程中扭结在三维空间中不自相交，则我们说这两个扭结“同痕”（isotopy）。稍微精确一些，给定从单位圆周到三维欧式空间中的嵌入，，如果存在一个同伦变换连接，

同时在任意时刻，映射是嵌入，则我们说同痕（isotopy）。这样，我们可以将所有的扭结进行同痕分类。那么如何判定两个扭结同痕等价（isotopic equivalent）呢？这需要寻找一些同痕拓扑不变量。

图2. 扭结（knots）。

比较常见的方法大致如下几种：补空间的同伦群，补空间的标准度量和吴先生的示痕类。

补空间的同伦群：我们可以将三维欧式空间加上一个无穷远点，构成一个三维球面，，我们用来表示一个扭结，扭结的补空间为，其一维同伦群（基本群）为。两个扭结同痕，当且仅当它们对应的补空间基本群同构，

。

计算补空间基本群的一种表示形式是线性复杂度的，但是判定两个表示所代表的群是否同构却是指数级的。因此，运用补空间基本群同构来判定扭结同痕不太现实。

补空间的标准度量：根据瑟斯顿（Bill Thurston）的三维流形几何化定理（Geometrization），如果扭结的扭曲缠绕模式比较复杂，则其补空间容许一个常值曲率的黎曼度量，例如双曲度量。两个扭结同痕，当且仅当它们对应的补空间配上标准度量后彼此等距，

。

判定两个双曲三流形是否等距比较简单，但是计算标准黎曼度量相对复杂一些。

示痕类：上面的两种方法具有一定的适用范围，无法用来判断一般流形嵌入的同痕等价。吴先生的示痕类方法比较具有普适性，它可以用来对一般流形嵌入进行同痕分类。如图2所示，亏格为2的曲面，以不同的方式嵌入在三维欧式空间中，并且这两种嵌入彼此不同痕。高维流形的嵌入无法被直接观察，因此其同痕判定更为困难。吴氏示痕类提供了一种计算手段来进行判断，从而使人类的理性思维超越了自然感官。

图3. 亏格为2曲面的不同嵌入。

代数拓扑的主要工具是同伦群（homotopy group）和同调群（homology group），它们可以用来判断两个流形是否是同伦等价（homotopic equivalence），而非拓扑等价（homeomorphic equivalence）。同伦等价远远弱于拓扑等价，例如圆柱面可以形变收缩成基线，其基线是圆柱面的形变收缩核（deformation retract center），因此两者同伦等价。同理，莫比乌斯带也和圆圈同伦等价，因此莫比乌斯带和圆柱面同伦等价。但是，圆柱面可以定向，莫比乌斯带不可以定向，两者之间不存在拓扑同胚（homeomorphism），拓扑不等价。考察流形到的嵌，则和其像同胚，因此同痕类判定需要比同伦等价更强的不变量。吴先生应用“去心积流形”的手法，巧妙地将拓扑等价转化为同伦等价。这一手法鬼斧神工，浑然天成，堪称是旷世杰作。