有限元基础——从入门到放弃

这是一门课程的复习笔记，在这里先做一些梳理。有限元方法说容易看起来挺容易，就是分片局部插值，然后由于全局上积分时只有局部有相交的差值基函数能积出一个值，其余都正交了，所以使得计算量大幅下降；在一维情况下的三次样条可以看成一种特殊的协调有限元，在每个差值结点上对值做出了要求，同时对导数做出了要求(并且这个差值空间可以由边界条件唯一确定，所以是个有限元)。

但真的在做的时候还是会遇到很多麻烦，主要的麻烦来自几个方面：

1.有限元上的分片差值取几阶比较好，单元用什么类型的，带导数还是不带导数，误差估计怎么做？计算量怎么评估？

2.在有限元的边界上需要几阶的连续性条件才可以使得这个有限元是协调的，即可以将误差估计的比较干净。

3.如果有限元不是协调的，能不能把误差估计清楚？(比如热传导方程中的介质有离散性和各向异性，导致一般积分公式精度不够)

4.对于一些情况下要对有限单元求导数，能不能避免求解数值导数，而将问题转化为混合有限元然后求解某对偶问题。

5.如果不要求协调性和物理意义，纯从优化学的角度上来讲，可不可以比现有的有限元更优秀(超罚及其超收敛现象)。

6.想要有限元计算的更快，一个思路是并行计算，那么矩阵预处理能做到什么程度?(BPX)如果刚度矩阵不能完全分块，那么怎样设计单元之间交流信息的迭代格式(这里主要讨论施瓦茨迭代)。

7.但是有限元的自适应能有多少效率的提升?并且应该定性理解有限元误差的上界是全局的，而下界是局部的。

8.对于椭圆形方程特殊的特征值，如何进行快速的迭代计算?(多重网格法,V-cycle迭代的收敛性分析，陈志明)

9.对于有限元的一些细节处理，比如非直线边界的仿射线性化或者局部高阶差值。

10.一些基础理论，变分法和泛函(从sobolev嵌入定理入手，讨论庞加莱不等式，迹定理和等价模定理)。

11.有限元误差估计的一般格式，即转化到标准单元上做误差估计。

接下来还是按一定次序复习，着重回答以上11个问题，争取通过考试 XD

1.marvelous FEM——Dancing on Sobolev Space (first lecture)(1)

这是我一开始做的有限元概论笔记。

2.变分法和sobolev空间。

1）变分法

变分问题有没有解

可解性

令J是一个弱上半连续强制泛函，然后无限制最小解存在。

其中J是一个将函数映射到(-inf , +inf)的泛函。

只要证明J的最优解在原函数空间内能够取到即可。这还是比较显然的。可以找到一个收敛子列，由于J有弱上半连续性(函数间断点只能往更小了跳)，所以可以逼近。

存在唯一性

加上一个泛函J是严格凸的即可。

显然就够了。

必要条件

凸性加G导数。

G导数的引入

即泛函沿着某个函数v方向的导数，可以记为J’(u)。

如果它在该函数的对偶空间里面，那么可以长出内积:

<J’(u),v>

这个时候我们来证明，上面那个内积为0，是u是一个极值点的必要条件。

这从直觉上很显然，因为他沿着所有方向上的导数都和原来的方向正交，这在微积分里面就是在某参数下的1-form等于0；实际上也不复杂。

直接展开J(u±λv)≥J(u), λ>0,v∈V。

这个时候由于凸性，我们知道两边相减得到一个大于等于0的项:

<J’(u),v>.

于是得证。

V椭圆双线性形式

如果一个双线性算子是V-椭圆的，那么也就是说，

他自己的范数一定可以控制他作用于的函数的范数。

Lax-Milgram引理

令V是一个希尔伯特空间，并且上面有一个V-椭圆的算子a(·,·)，

a(u,v)=l(v),v∈V

那么其解存在唯一。

或者写成变分不等式:

a(u,v-u)≥<l,v-u>,对所有v∈K

好像很显然，其实挺麻烦的。

首先先把这个算子写成正定的一个有界算子，这是多亏了希尔伯特空间的自反这一优秀性质，以及本身的V椭圆性。

（值得一提的是去掉对称性和希尔伯特空间的性质，也有很好的结论）

先要用一下Riesz表示定理，将右边那一个意义下的内积变化成一个加权内积<l,v> = (τl,v)

同时可以证明这个τ的算子范数是1。

然后改写成一个辅助问题，

找一个u，使得(τAu – τl , v-u)≥0。

因此，只要证明这个问题存在解，要构造一个辅助的压缩算子。

然后由于在局部上有一个压缩的不等式，所以存在一个不动点。(参考数值分析一般的迭代格式)就证明了存在性。

唯一性是假设有两个最优解，然后用一下V椭圆性，发现他们的差被控制，即等于0。 于是唯一。

Ritz-Galerkin方法

就是从有限维的子空间逼近无穷维子空间的思路。

其正确性需要Galerkin正交化的检验(当然要先满足Lax-Milgram引理的先决条件)

主要还是给定vh, a(u-uh,vh) = 0 这个东西是有解的，这在之前已经有了一定的讨论。

这东西又可以引出椭圆映射。可以从最佳逼近的角度来理解，这就是一个加权最佳逼近。

Cea引理

（老师好像觉得很重要orz，但我一下子没想起来为什么重要）

||u –uh|| ≤ C/α inf||u - vh||

由于a(,)的V椭圆性和有界性，又有Galerkin正交，

我们知道

α||u-uh||²

≤a(u-uh,u-uh) (V椭圆性质)

= a(u-uh,u-vh)+a(u-uh,vh-uh)

≤C||u-uh|| ||u-vh||(算子性质)

于是得证。

2）Sobolev空间

一些记号定义为m阶导数的p阶范数和有界的函数组成的空间。

这样的空间有非常好的性质，比如装配范数后变为banach空间。

同时有的时候退化成Hilbert空间(p=2)且装配范数

 = sum ()其中α为0到m的一些数加和。

还要定义半范数，半范数就是由该sobolev空间下的m阶导数生成的模。

由于是无穷维的空间，所以其分析性质也不是太好。

首先还是要知道弱导数这个东西。

弱导数就是分部积分很多次之后，如果能和导数的定义协调，就称某阶弱导数存在。(懒得打公式，要没救了；要注意这个导数是边界依赖的)

有一个挺好的性质:如果这个导数连续，那么其经典导数就是这个弱导数。

此外注意这个导数可以是分数阶的哈。

一般来说用以被分布积分的函数都是磨光算子这种极度光滑的函数。但是也要考虑计算的量XD；并且磨光算子有非常好的分析性质，需要记一下。

这个时候又有Poincare不等式，

如果Ω连通而且在一个方向上有界，那么对每个非负整数m，可以使得全范被半范控制，对于v在(Ω)的闭包里面。

我们以前从泛函分析中知道，函数导数的内积之所以不能作为范数，是因为常数可以使得这个模等于0时，对应的向量不等于0；现在由这个定理，我们可以知道，半范是范数，且等价全范数。

严格点就通过互相控制证一下，加上两个范数之间的模式范数这样一个定理。

大东西:Sobolev嵌入定理

感性的说，如果一个空间X包含于另一个空间Y，但是X到Y又有连续的映射:这是说X中元素在X上的范数可以控制X中元素在Y上的范数，那么就构成嵌入关系。

此外还有紧嵌入

这玩意真是不太懂。只知道嵌入定理的描述是m为整数，且Ω在n维空间中有lipschitz连续边界的有界开连通区域，那么查表可以得到一系列嵌入关系。

这个就好像是一个规范的工具，让你知道什么空间里的函数有什么性质。

当然有一些结论是比较显然而有意义的。

希尔伯特1对任意维数，都可以嵌入L2

sobolev空间的导数阶高的空间可以嵌入导数阶低的空间。

二维空间里面，希尔博特2可以嵌入连续函数空间，但是希尔伯特1不行。

这几个都挺重要的。当然最后一个定理说明，如果差值空间是，有限元单元的边界得连续，不然肯定无法协调。

还有一些分数阶的sobolev空间的有意思的例子，我自己没有动手算过，啥也不懂。

迹空间

迹就是边界，作为一个n维的测度，怎么就在n-1维上有定义了呢？

照道理上来是要讨论一把嵌入性质的，但是实在是不懂，就跳过这部分了。

无所谓啦，就假设我在sobolev空间里找一把收敛函数列，能收敛过去也就算了。但是这里还是有一个重要的定理要说明，它告诉了我们为什么在边界上，sobolev空间的阶数会记作1/2阶。

这是因为边界算子作用在sobolev空间中v上的时候，其边界上的0阶范数会被其全域上的0阶范数的1/2次方和其全域上的1阶范数的1/2次方控制，当v本身是希尔伯特1的。

这玩意有好几种推法，主要就是在极坐标下积个分或者在正方形边界下积个分，然后用一下半范和范数的控制关系，得到放缩。

还有一些更强的定理，毕竟不是搞泛函，我还要自救，就不介绍了orz

接下来还有一个定理，保证边界算子γ0的值域希尔伯特1/2(边界)是L2(边界)的一个稠密子空间;并且作用到内部不能得值。

虽然感性上我挺接受这个定理的，但是证明似乎不是非常易得。可以找本参考书。

这条定理存在感还是非常高的，尤其是到了非协调元的时候，边界上的误差估计全都靠它了。还有就是罚方法里面，每个单元的边界上都有个跳跃，那真是每题都要用一下。

Green公式

Green公式是造出各类对称的非对称的双线性形式的利器，但其边界依赖于迹定理。

由于Green公式在1阶可导的边界下显然成立，所以考虑到在中稠密及迹定理就可以推出成立。

等价模定理

这个定理在有限元误差估计中真是有着非常重要的作用。将有限元单元投射到参考单元上的时候每次都要用一下，弄回来又要用一下。

（这里还是不写证明了。。头大）

这里就说商空间中的等价模定理，

即商空间中的半范数和其范数等价。其实我觉得从差值的角度还是挺显然的，投影过去就可以了。

庞加莱-弗雷德里奇不等式

在等价模定理中让k =0 , p =2,于是可得。即是欧式空间上一个估计。

1全范被导数的模和积分的绝对值(注:不是绝对值的积)控制，当v在希尔伯特1上。

2.有限单元的性质。

有限单元的性质

怎么建立有限元，主要还是通过Galerkin方法，对于双线性形式分片取基函数，然后积分。接下来积分之后填到一个矩阵里面(就是法方程)，称其为刚度阵。然后对载荷也做类似的积分，然后解线性方程。

这里先假设这些个积分都是精确地(众所周知，数值方法里面积分是精度最高的，而求导最低；所以弱形式特别优秀。)

又由Cea引理，实际上这个误差可以用插值误差控制。

特别的，如果双线性形式对称V椭圆，那么其误差就是插值误差。

(怎么看怎么优秀 QAQ)

这也就是协调元的思路，协调元只涉及插值函数的取法，当然这个取法又基于网格。而插值函数要能线性表出整个Vh空间中所有的函数，又不能线性相关。当然这个check一下法矩阵的特征值就可以了。

当然真的做的时候还是要定义有限元。

先分片，再定形函数，然后定插值结点。Clarlet 在1978年，这样定义了一个有限元。

定理还是有的，如果一个函数使得插值他的函数变成0，那么他只能是0，验证这一条就能验证一个划分方法是不是一个有限元。

此外选单元也是一种学问，由于欧拉公式的存在，我们希望插值结点重用率高一些，就得把握金角银边草肚皮的诀窍。同时如果要求比如说应力，也就是要对位移空间求导数，那么这个时候单元上最好也建立一个控制导数的差值结点。然后用决定插值函数(无非就是几个插值条件就几次。)同时要注意协调性，如果坚持走协调有限元的道路，就不要搞出悬点来。同时为了后验误差估计，也尽量使得单元正则一点。正则的判断标准是三角形单元内切圆半径比外接圆半径不要太小了。在后验误差估计时，这个数字会直接体现在控制的常数上。

常用单元有三角单元、矩形单元。

有特色的包括四阶问题的协调有限单元。

其中典型的是Argyris三角形元(五次单元)，用来解重调和方程(Arry方程)；每个角点上带二阶导数，同时三条边各带一阶外导数。

还有非协调元中经常出现的中点元。

关于几个结点要给几个插值条件，有一个可爱的组合数学公式。

3.协调元的意思及其收敛性的判断。

4.多重网格法及其优越性。

5.自适应方法。

6.混合有限元(inf-sup条件)。

7.非协调元(曲线边界和刚度阵不可积分,LBB条件)。

8.矩阵预处理。

9.几种超罚和普通格式的稳定性和精度比较。(UNIFIED ANALYSIS OF DISCONTINUOUS GALERKIN METHODS FOR ELLIPTIC PROBLEMS∗论文阅读笔记)