有限元法的核心思想是什么

很多人对有限元的理解并不是特别深刻。有限元只是求解偏微分方程的一种数值方法而已。所以理解有限元你必须要反思你学过的数值方法，比如数值分析的时候你是如何近似一个函数的，如何近似积分，近似导数？？我们会发现数值方法的核心是 空间内的一组基来近似 空间内的复杂形式。简单说就是利用 一组简单的表达式来近似任何复杂的形式。拉格朗日插值不就是采用非常简单的基函数来形成的。数值积分我们都是划归到了对多项式的积分上。。。。

理解了数值方法的核心再理解有限元就简单多了，有限元求解的对象是偏微分方程。考虑偏微分方程，最终的解的定义域是在一个区域内的，这个区域内的解析表达式是非常困难的。这时候理所当然大家就会考虑怎么求解这个问题呢？肯定是在这个区域内找一些简单函数去近似拟合，比如利用多项式 利用周期函数等等。。。。但是在这样求解的过程中又会发现，我们在整个区域内近似是非常困难的，对于很多问题还是不是那么容易求解，试想一个形状非常不规则的区域？？？这时候，科学家就会萌生了能否我把整个区域的问题划分成一系列的简单区域，简单区域上问题求解是非常简单的，最终的结果把所有区域结合起来不就可以了吗？ 这时候科学家又会联系到，结构力学中的杆件结构，因为在杆件结构中已经有了这样的方法。所以经过一系列的推导就有了这样分片求解问题的方法 即有限元方法。

有限元并没有什么复杂的，也不要被什么最小势能，变分原理吓住，因为这些都是在逐步完善有限元方法过程中理论的完善，最小势能，变分原理是为了建立有限元的弱形式，或许你会问 弱形式是什么呢？ 举个例子，如果我们分析的微分方程式二阶的，也就是方程中含有关于自变量的二阶导数，那么我们建立的近似函数是不是也要具有二阶呢？答案是肯定的，事实证明，阶段太高是非常不利于问题求解的，那么就会思考可不可有一种等效的形式，但是阶次又是比较低的？当然有了，这就是弱形式，试想如果可以用一次函数去近似是不是非常简单呢？不得不说这是有限元方法得以这么盛行的非常重要的理论基础。