“猜”出来的薛定谔方程

薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动的基本方程。当然这样的表述也许还不足以引起你对薛定谔方程的重视。

我们都知道，“万物由原子构成”，那么，原子是怎么运动的呢？还有，原子是否可以再分？如果可以再分，那原子内部是怎么运动的呢？薛定谔方程就可以描述这些运动。

薛定谔方程之于量子力学，相当于牛顿运动定律之于经典力学。因此，这么重要的一个方程，不学真的是对不起自己。

让我们先来看看薛定谔方程长什么样：

方程也可以用拉普拉斯算符表达，这样略显简洁：

方程中最关键的就是波函数Ψ（x，y，z，t）。

我估计，文科生一看到这个方程立马会倒吸一口冷气，即便是学过《高等数学》的理科生也会感到有点茫然，但是对于学过《数学物理方程》的同学来讲，这个方程有点眼熟。是的，从形式上来看，有点像扩散方程，但薛定谔方程的实质是波动方程。很奇怪是吧，但更奇怪的是，这样一个复杂的方程竟然是薛定谔“猜”出来的！

正是因为薛定谔方程是薛定谔“猜”出来的，所以薛定谔自己也不清楚该波动方程中最重要的波函数Ψ的涵义，于是，这就引发了当时全世界最顶尖的物理学家们都去寻找这个神秘的Ψ之谜。目前，被公认的、同时也被实验验证的波函数Ψ的涵义，是由波恩提出的：Ψ是概率振幅。什么意思呢？就是说，用波函数Ψ可以描述微观运动粒子在各处被发现的概率[1]。

 一切运动中的微观粒子都具有波粒二象性，所谓波粒二象性，简单来说就是，运动中的微观粒子会表现出波动性，其波长和动量的关系式符合德布罗意公式。我们把这种波称为物质波。物质波不是经典物理学意义上的机械波或电磁波，物质波是概率波，即：物质波在某一地方的强度，与在该处找到物质波所代表的粒子的概率成正比[2]。

薛定谔方程描述的就是这种物质波，现在你应该理解了，为什么说用方程中的波函数Ψ可以描述微观运动粒子在各处被发现的概率。

好了，废话少说，下面我们就来看看，薛定谔大师是怎么“猜”出这个方程的。

根据狭义相对论[3]：

根据光量子理论，对于光子[4]：

上述推导式中，h为普朗克常数，c为光速，p为光子动量，最后一个式子表示：光子所表现出来的波动性，其波长与光子动量之间的关系。

根据这个波长的式子，德布罗意采用类比法，认为（其实当时是假设，以后不断被实验证实）：任何微观运动粒子都和光子一样，具有波粒二象性，和这些粒子相联系的波称为物质波，其波长符合上述那个公式。物质波的波长、频率、相速度，分别为[5]：

普朗克能量子的计算式其实已经表明微观粒子的波粒二象性：E体现粒子性，υ体现波动性。

德布罗意给出了物质波的概念，现在轮到薛定谔出场了，他需要给出一个描述物质波的方程。薛定谔这项工作的起点其实就是经典物理学里的波动方程[6]：

式中的Ψ就是波函数，u是波的传播速度，在物质波中，u为相速度。

为了使讨论简化，只考虑一维的情形（x方向传播的波），故波动方程简化为：

根据数学物理方程的解法，存在一个解，即，可获得如下一个波函数的解析式：

式中，A为波的振幅，矢量k称为波矢，表示波的传播方向，此处的方向与矢量x相同，ω是角频率，二者大小为：

有物理学知识基础的人估计会问，从该波函数的形式来看，其实就是经典物理意义上的单色平面波（所谓单色平面波，是指具有单一频率且在时间空间上无限延续的平面波），那么，为什么此处的波函数一定要用复数形式？实数形式为什么不可以？

原因在于：在量子力学里，有测量意义的既不是波函数的实部，也不是它的虚部，而是波函数的绝对值的平方，即概率密度[7]。在薛定谔方程建立完成之前，这样一个理由的说服力是很勉强的，因为前文已经说过薛定谔自己也不清楚波函数Ψ的涵义，事实上，薛定谔是假定了物质波在形式上对应经典物理意义上的平面波。还有，单色平面波实际上是不存在的，只是一个理想状态，真实的波总是在有限的空间和时间之中。所以，这就是为什么很多物理书上都说薛定谔方程的建立过程是“猜测”加“拼凑”。

有了波函数Ψ的表达式，可以得到[8]：

然后，薛定谔对上述具有经典物理意义的两个式子引入了量子的性质：

一个自由粒子的能量和动量之间的关系式为：

如该粒子在一个势场V之中，则粒子的能量关系式为：

因此，p通过E表示如下：

将该式代入到前面算出来的波函数Ψ对x、t的导函数式子，得到：

最后两式右边相同，于是得到一维的薛定谔方程：

三维形式的薛定谔方程如下：

薛定谔方程的建立过程到此已经结束，需要指出，该方程是非相对论化的，即适用于速度不太大的粒子，后来是由物理学家狄拉克将方程相对论化，薛定谔方程转变为狄拉克方程，当然，这是另外一个话题。薛定谔方程是量子力学中的基本方程，量子力学中还有一个基本原理——海森堡原理（不确定原理），当然，这又是另外一个话题。

写了一大堆公式，读者会问：那量子力学有什么用？我这么讲好了，如果没有量子力学，就不会有你手中的iphone。关于量子力学有什么用，我想推荐一段视频《量子力学揭秘-第2集》，里面的内容是用量子力学解释生命现象，视频最后解释的基因突变原理尤为精彩，点击文末左端的“阅读原文”，可获得该视频的链接，视频中的主持人是英国量子物理学家Jim Al-Khalili。

与薛定谔的名字相联系的，除了薛定谔方程，还有薛定谔的猫，读者一定会问：“薛定谔的猫”是怎么一回事？解决了么？关于这个问题，你可以看这本科普读物，《悖论：破解科学史上最复杂的9大谜团》，该书的作者也是Jim Al-Khalili。

参考资料：

[1]《大学物理学-量子物理》，清华大学出版社，2000年

[2]《高中物理-第三册》（甲种本），人民教育出版社，1985年

[3]《大学物理学-力学》，清华大学出版社，1999年

[4] 同[1]

[5] 同[1]

[6]《量子迷宫》，巴戈特-著，潘士先-译，科学出版社，2012年

[7]《量子力学》，邹鹏程-著，高等教育出版社，2003年

[8] 同[6]

to be continued

作者简介：

董广宇，新浪ID：@闻道_wendao，货币金融研究者，倡导建立一套诚实健康自由购买力稳定的货币系统，从业于商业银行，著有《被忽视的货币真相》一书，经营有“少数派财经报告”公 众号。