清华笔记：计算共形几何讲义 （11）黎曼映照（Riemann Mapping）的存在性

顾险峰 纽约州立大学石溪分校

计算机与应用数学系 终身教授

共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属，其证明方法也是丰富多彩，各有千秋。这里，我们回忆一下经典的复分析手法，朴素初等，但是非常具有代表性。在复分析中，标准共形映射的存在性证明，一般都遵循如下的方法：首先定义一个全纯函数的正规族，然后考察函数的Taylor（或者Laurent）级数展开，构造一个序列使得某一个系数取得极值，由正规族的紧性得到极值函数的存在性，再证明这个极值函数就是所要求得的共形映射。我们下面的证明就是采用这种手法。

图1. 黎曼映照（Riemann Mapping）。

黎曼映照定理  给定复平面上单联通区域，不是整个复平面，和一点，则存在唯一的一个解析函数，满足条件：和，使得定义了从到单位圆盘的双射。

图2. 莫比乌斯变换（Mobisu Transformation）。

如图1所示，人脸曲面是一张单联通的带黎曼度量的曲面，存在共形映射，将人脸曲面映射到平面单位圆盘。同时，所有这种映射彼此相差一个圆盘到自身的莫比乌斯变换（Mobius Transformation）：

,

如图2所示。

如果是Jordan区域，那么共形映射可以延拓到边界上。

我们先用最大值引理来证明Schwarz引理。

Schwarz引理    假设在上解析，并满足条件，并且，那么，并且。如果存在一点，，或者，那么。

证明：我们构造函数

在圆周上，函数的模，因此在圆盘上，。令 ，我们得到 。如果在一点处，等式成立，根据极大值原理，必为常数。引理证明完毕。

引理2    假设是单位圆盘到自身的共形同胚，那么必为莫比乌斯映射。

证明：我们构造一个莫比乌斯映射

,

那么为单位圆盘到自身的共形同胚，并且。根据Schwarz引理，我们有

,

同时由，我们有

,

我们得到

,

由Schwartz引理，我们得到 。 为莫比乌斯变换。引理证明完毕。

下面，我们用引理2来证明黎曼映照的唯一性。假设存在两个共形变换，那么复合映射

是单位圆盘到自身的共形映射，因此必为莫比乌斯变换。根据条件和，我们得到，即。

我们考察所有满足如下3个条件的函数构成的函数族：

1. 为解析函数，在上是单射（univalent），

2. ,

3. 并且。

   
   

证明分三个步骤：（1）函数族非空；（2）存在一个函数，达到最大；（3）这个函数就是定理中的共形映射。

首先，我们证明函数族非空，即。根据假设，存在一个点，不在中。因为是单连通的，我们可以在内定义的一个单值分支，我们将这个函数记为。不会取同一个值两次，也不会相反的值：如果，那么。在下的像覆盖一个小圆盘，因此和圆盘没有交点。换言之，对于一切，, 因此我们得到

在上是单射（univalent），并且。存在角度，

属于函数族，所以非空。

我们定义上确界

,

存在序列，使得 

。

根据Arzela-Ascoli定理，是一个正规函数族（normal family），因此存在子序列，在上收敛到一个解析函数，并且在的任意一个紧集上都是一致收敛。因此，我们有，因此是有限的。由，我们得到解析函数不是常值函数。

我们欲证是定理中的共形映射。首先是univalent，否则存在相异的两点，取值相同。因此，是函数的一个零点。根据Rouche定理，对于充分大的，在附近函数具有零点，亦即。这和在上是univalent相矛盾。故而极限函数必是univalent。

我们已经证明是保角变换，我们需要进一步证明映射是满射，。因为 是双射，是单连通的，因此也是单连通的。如果存在单位圆内一点，不是像点，那么，并且在上函数

具有解析分支，记为，的限制为双射，。令

,

那么是单射，由得到，

带入，

构造函数

，

那么并且，这和的定义相矛盾。因此，假设错误，映射为满射。

由此，我们证明了为所要求的共形映射。证明完毕。

当平面单连通区域是多边形的时候，黎曼映照具有非常简洁的形式：Schwartz-Christoffel映射。这一公式在工程上被广泛应用。

给定多边形，在顶点处，多边形外角为，共形映射记为。顶点的原像和像记为和，那么逆映射具有形式

,

这里是两个复值常数。在实际应用中，我们往往需要探测的位置，这增加了算法的复杂度。

虽然 Schwartz-Christoffel 公式具有显式表达，但是无法直接处理三维曲面。在实际应用中，我们更多地使用全纯微分和离散Ricci流的方法。