清华笔记：计算共形几何讲义 （12）极值长度

顾险峰 纽约州立大学石溪分校

计算机与应用数学系 终身教授

图1. 圆柱面的共形模。

拓扑等价的度量曲面是否共形等价，亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射，这是一个微妙的问题。几何上，我们需要寻找共形变换下的全系不变量，通过比较不变量，我们可以判断曲面是否共形等价。如果曲面是拓扑圆盘，边界上选取四个角点，则曲面被称为是拓扑四边形。拓扑四边形的共形不变量，被称为是曲面的共形模。

图2. 拓扑四边形和共形模。

如图2所示，设是一个拓扑圆盘，配有黎曼度量，边界上选取四个角点，逆时针排列，将边界分成4段，，这里 连接和，模4。

我们考察所有连接左右两侧的路径，

令是和初始度量共形等价的任意一个度量，那么从左到右的最短距离为

这里是路径在度量下的长度。曲面上曲线族的极值长度定义为

这里是曲面在度量下的面积，取遍所有和初始度量共形等价的度量。

共形不变量

首先，我们来看，极值长度是共形不变量。假设两张度量曲面彼此共形等价，，同时将角点映到角点，那么映射诱导的拉回度量满足。那么曲线长度

，

曲面面积

,

进一步

由此，；由对称性，，因此。我们得到两个曲面的极值长度相等。换言之，极值长度是拓扑四边形曲面的共形不变量。

图3. 平直度量是极值度量。

平直度量是极值度量

如图3所示，给定平面长方形，宽为1，高为h，平直度量，则面积，曲线最短长度为，极值长度。

给定任意一个共形度量，满足，并且面积，考察水平直线，其长度不小于1，

由此得到

，

应用柯西-施瓦兹公式

由此我们有，极值长度，因此平直度量达到极值。

平直度量存在性

如图2所示的共形映射是存在的，这一点可以简单地证明如下。我们取曲面的一个拷贝，定向取反，沿着粘合，得到一个对称的圆筒曲面。然后，类似地，我们取一个圆筒曲面的拷贝，定向取反，将两个圆筒曲面粘合，得到一个对称的轮胎曲面。根据曲面单值化定理，存在和初始度量共形等价的平直度量。由于对称性，在原来拓扑四边形曲面上，平直度量使得曲面成为一个平面长方形。这个长方形的宽高之比称为曲面的共形模。

图4. 拓扑环带的共形模。

假设是一个拓扑环带，，这里是有限的，是无限的。我们考察的同伦群，其生成元记为，曲线族

为和同伦的封闭曲线族。令为正值函数，定义了度量。曲线族中的最短长度为

,

拓朴环带的面积为

，

拓扑环带的共形模定义为：

。

那么存在共形变换，将拓扑环带映成标准圆环。在标准环带上，我们任取半径为的圆，这里。那么

对半径进行积分，然后平方

由Schwartz不等式，

,

由此得到，

等号成立，当且仅当 ， 即曲面为标准圆柱面。我们定义拓扑环带的共形模为：

。

串联两个电阻，则等效电阻为各个电阻之和；并联两个电阻，则等效电导（电阻之倒数）等于各个电导之和。假设电阻率为常值，则长方形材料的等效电阻等于宽比高（电极连接左右两侧）。如果，我们将长方形进行相似变换，则等效电阻并不变化。

共形变换在无穷小意义下是相似变换，因此宏观上，等效电阻在共形变换下不变，共形模的物理解释就是等效电阻。

奇妙的是，共形模理论在组合意义下依然成立，当然从统计物理角度而言，这自然顺理成章。假设是一张平面图，其中一个面被选为“外面”（包含无穷远点的面），在“外面”的边界上选取四个顶点，将外边界分成四段。 图中的一条路径是一个顶点序列，

之间有边相连。我们定义路径族，

在顶点上我们定义离散共形因子，路径的长度定义为

，

整个图的总面积为

同样的，我们定义

离散极值长度定义为

。

存在性和唯一性

我们将离散共形因子表示成空间中的向量：，每个分量非负，，同时对于曲线族中的所有路径，其长度不小于1，，所有满足这些线性不等式条件的构成中的凸集，

，

总面积为的二次函数，其水平集为椭球族。椭球和凸集的切触点存在并唯一，在此点总面积达到最小，离散极值长度被达到， 如图5所示。

图5. 存在性和唯一性

方块填充

离散极值长度有一个非常优雅的几何解释：方块填充，如图5所示。

图6. 方块填充。

所谓图的方块填充是指长方形的一个胞腔分解，满足如下条件：

1. 图中的每一个顶点对应一个方块，

2. 如果两个顶点在图中有边相邻，则它们对应的方块彼此相切，

3. 图的四个角点对应的方块被映成长方形的四个角。

   
   

图的离散极值长度所对应的度量实际上给出了图的一个方块填充，这个方块填充在相似意义下是唯一的。如果极值度量是，则顶点对应的方块的边长为，这些方块之间的接触关系由图的组合结构所决定，彼此严丝合缝地垒砌起来，形成一个长方形，如图6所示。原图的共形模，亦即极值长度，由长方形的宽高之比给出。