非线性有限元分析之超弹模型Gent
前几天的文章中，我们分别介绍了 Arruda-Boyce, neo-Hookean，Mooney-Rivlin，和Yeoh几种超弹模型。今天，我们来讨论另一个经典的超弹模型：Gent。一个基于橡胶等大分子结构的限制链可扩展性的概念，用简约的数学形式来描述橡胶的非线性本构的模型。和大多数超弹模型一样，Gent是以人姓氏命名的超弹模型，用以感谢Gent博士在此超弹模型上作出的贡献。
1996年Gent博士在Rubber Chemistry and Technology期刊上发表了一篇简短的论文A new constitutive relation for rubber。提出了对各向同性不可压缩材料的一个非常简单的两参数模型。该模型是一个基于经验的模型，但数学表达式却非常简单，能反映橡胶大分子模型的极限链可扩展性特征。Gent模型适用性强，不仅在橡胶材料，且在软生物材料的生物力学领域都有着广泛的应用。同时，由于Gent模型连接了大分子材料的宏观力学行为和中尺度大分子网络结构，为以后的多尺度模型的研究也奠定了一定基础。WELSIM已经支持了Gent超弹模型。
Alan Neville Gent 博士（1927-2012）出生于英国。早年毕业于著名的伦敦大学物理和数学专业。曾经在John Bull橡胶公司，大不列颠橡胶生产研究所等地工作过。在经历过第二次世界大战后，1955年从伦敦大学获得到博士学位，之后移 民美国。这点和Rivlin的经历很相似，只是Rivlin要比Gent年长个10几岁。Gent从1961年开始在美国Akron大学任教职，在橡胶及其的断裂力学方面有杰出的贡献。Gent教授一共培养了40多个博士和35名硕士，同时在1964-2002年期间，担任Goodyear轮胎和橡胶研发部门的咨询与科学导师。Gent博士一生发表了200多篇关于橡胶和塑料力学的文章和书章节。同时是多个相关学会的主席。1991年入选为美国国家工程院院士。Gent将一生都贡献给了大分子材料及其力学的研究，获奖无数。
虽然Gent应变能函数有一些不同的版本，本文介绍的是有限元算法中最常使用的应变能函数：
其中，J是变形后与变形前的体积比，对不可压缩材料，J=1。I1是第一应变张量不变量。u是初始剪切模量，Jm是I1-3项的极限链限制值，又称作最大平均拉伸参数，D1是体现体积变化的不可压缩参数。从应变能函数可以看出:
初始体积模量为K=2/D1。
当参数Jm趋向为无穷大时，Gent模型等同于neo-Hookean模型。当参数Jm不接近无穷大时，Gent可以比neo-Hookean描述拉伸状态下更为复杂的本构模型曲线。
在一定条件下，和Arruda-Boyce模型具有一致性。
Gent模型的优点
简单明了，参数少。形变部分只需要2个参数，体积变化部分只需要1个参数，就可以确定整个模型。相对应的，所需要的实验数据也较少。
参数和大分子材料的属性相关联，有实际物理意义。Gent模型锁定材料拉伸，在分子尺度反应了有限的链延伸性。
能够表达出明显的应变硬化的本构特征。
Gent 模型的限制
对于中小变形，特别是中等变形（200-300%应变），偏差较大。
和所有的两参数模型一样，Gent难以准确描述整个应变历程下的所有状态。
从单轴拉伸测试数据所获得的参数，无法准确用于的双轴拉伸下的响应。
含有Gent材料模型的有限元分析
定义材料
选用Gent 超弹材料，并输入参数u=0.01 MPa, Jm=10, D1=0.01 MPa^-1.
导入橡胶几何体，划分网格，并施加向下压缩的-2mm的位移
求解，并添加应力结果节点，显示云图和时间历程最大最小值。如图所示，最大应力值随时间变化表现出非线性。
来源：WELSIM
