基于有限元方法的三维静电场分析

现代电磁研究已深入到各个领域。近几年随着5G，新能源汽车，IoT等新技术的快速发展，电磁场分析的作用也显得越来越重要。电磁场仿真已经广泛地、成功地应用于电磁性能预测、设计的多个方面。在合理设置仿真模型和求解参数的前提下，电磁场仿真已经可以在很多方面替代实验，为电磁器件的快速研发提供巨大的帮助。

静电场虽然是电磁场分析中较为简单的一类，但其应用广泛，并且是其他电磁类型的分析基础。静电场作为电磁学的重要组成部分，与磁场一样具有抽象性，不容易理解的特点，特别是处于静电场中的导体所表现出的静电感应现象，也使得静电场分析变得更加复杂。

使用有限元仿真技术，可以快速准确的计算出很多特定场合或工况下的静电场分布。比如计算电子元器件如电容电感分析，各种类型电缆的设计，电磁遮蔽，电磁兼容，雷电防护装置设计等都有很多应用。尤其是随着电器设备容量和工作电压的提高，电场仿真的则显得更为必要，电场仿真能够预测设备的绝缘性、放电和击穿的可能性等性能指标。

三维静电场的数值计算

所有的电磁场计算都是基于Maxwell控制方程组的，而此方程组的全形式对于计算静电场显得过于庞大，经过一系列的简化过后，静电场的控制方程可以描述为基于电势的泊松方程：

其中，\phi是电势，在国际单位制下的单位是伏特，\epsilon是介电常数，\rho是电荷源，P为极化矢量。

电磁场数值计算方法中，常用的有时域有限差分法（FDTD），矩量法（MoM），有限元法(FEM)以及非连续伽辽金法(DG)等等。对于静电场问题，从控制方程可以看出其本质上一种椭圆形问题，因此有限元方法是其求解的最好的方法之一。目前市面已经有一些通用和专用的有限元计算软件支持了电磁计算。WELSIM也已经支持了3D线性静电场的计算。

静电场分析中常用的材料参数是介电常数，真空中的介电常数为 8.854e-12 F/m。实际工程也常会使用相对介电常数来表示材料的介电性能。

常用的边界条件与电源激励有： 

1）电压

边界的电压值，也是电势值，是电磁分析中常见的边界条件。属于第一类边界条件。

2）法向电位移

法向电位移的数值等于表面电荷密度。实际工程中，由于很少知道表面电荷密度量，除非已知为零，因此很少使用。如果表面电荷密度为零，则不需要设置，因为属于自然边界条件。

3）电荷或电荷密度

一种电场源，为场提供电势激励，可以是正电荷，也可以是负电荷。一般为点或者球形电荷。

4）电极化矢量

极化矢量函数可以做为电场源。通过给定的电压堆而产生极化。一般需要给定位置和大小以及极化量的大小。

在WELSIM中进行3D静电场有限元分析

在WELSIM中进行静电场分析非常简单便捷，只需要一些简单的操作就可以快速的得到电场分布结果。 

1）创建物理环境

新建一个工程，并在有限元工程（FEM Project）的属性窗口中，设置物理类型为电磁场，分析类型保持默认的静电场不变。

2）定义材料

静电场分析中，主要的材料参数是介电常数，这里我们可以打开系统自带的默认空气材料设置，其中已经将相对介电常数设置为1，直接使用即可。

3）建立模型

建立一个10x10x10 cm3 大小的立方体场域，用来模拟电场分布。并设置立方体材料为空气。

4）划分网格

设置最大单元为0.5cm，点击网格划分。由于WelSim的电磁场求解器会根据计算类型自动使用高阶单元，所以这里无需设置高阶单元，Tet4单元即可。划分完毕后，一共生成9484个节点和54119个Tet4单元。

5) 施加边界条件或激励

当前版本的WELSIM对于静电场分析已经支持了电压，零电势（接地），和表面电荷密度边界条件，以及点电荷，球形电荷，和极化矢量源。

这里我们设置

1）外围零电势模拟场无穷远处。

2）在场内部添加两个点电荷和一个圆柱体电极化体。

点电荷大小分别为 0.1mC 和 -0.1mC，电极化的大小为 0.1mC/mm2。点电荷和极化矢量圆柱体的位置如图所示：

6）求解

点击求解按钮即可进行计算。

7）评价计算结果。

添加一个电压结果，可以快速查看电势分布结果。配合剖分面等后处理工具，可以直观查看内部切面的电势分布情况。这里所得到的的最大和最小电压值分别为2.76e9和-2.723e9 mV。电势的分布也和点电荷与极化矢量设置吻合。

除了电势以外，WELSIM还支持电场和电位移等结果。