结构有限元仿真中的弹塑性模型
塑性成型是工业生产中最重要的加工方式之一。小到弹簧绕簧，大到汽车车身锻造都是一种塑性成型过程。基本的塑性成型生产方式有自由锻，模锻，钣金冲压，挤压，轧制，拉拔等。同时，材料在损伤失效前，大多会经历塑性变形的过程，了解材料的塑性变形过程，对于生产与生活安全都有着重要意义。
塑性变形是指材料变形超过弹性极限（也称屈服应力），表现出复杂的应变-应力关系，此时即使卸载外力也无法恢复原状。材料进入塑性阶段后，如果应变持续增加，应力开始减小（也称应变软化），直到材料失效断裂。影响塑性应变的因素有很多，应力、应变率、 温度，也有加载历史，以及一些材料本身因素，如损伤等。为了更好地了解并描述塑性，各种塑性模型应运而生。
塑性屈服准则
屈服准则是塑性理论中的起点。是一个从弹性到塑性的过渡点问题。常用屈服应力或屈服函数来描述这个阶段。弹塑性分析基于屈服准则来判定材料是处于弹性范围内还是已经进入塑性流动状态，初始屈服条件给出了材料刚进入塑性变形的应力状态。目前常用的工程材料的屈服准则有von Mises，Drucker–Prager，Tresca，Mohr-Coulomb，和Barlat。在各向异性材料中，屈服方程常通过等效应力来表达。而在各向同性系统中，屈服应力是一个常量。
塑性流动准则
流动准则是用来描述塑性应变增量和应力增量之间的关系，并在此基础上建立弹塑性本构关系。当构件发生塑性应变时，流动准则定义了应变方向。在材料达到屈服后，流动准则可以描述每一个荷载增量的作用下，塑性应变的各个分量是如何发展的。在数学层面，根据与屈服面是否正交，将流动准则分为相关与不相关准则。金属材料一般为相关流动，而岩土则多为不相关塑性流动。同时，在粘塑性变形过程中，流动准则起着更为重要的作用。
塑性硬化准则
硬化准则规定材料进入塑性变形后的形式。当材料经过屈服阶段的塑性变形后，卸载，再加载到屈服，新的屈服点要比原屈服点高一些。那第一次屈服点就对应着“初始屈服准则”，每一次的屈服都比上一次高一点，这个发展的过程就是硬化。对于没有硬化效应的理想弹塑性材料，后继屈服函数和初始屈服函数一致。
按照变形的方向性，如果一个方向加载-卸载作用后，各个方向上的硬化效果相同，就叫做“等向硬化”；如果一个方向加载-卸载作用后，各个方向上的硬化效果不同，就叫做“随动硬化”。比如等向强化模型通常采用Von Mises(各向同性)屈服准则，对于金属、高分子多聚物，以及饱和地质材料等有很好的近似度。随动硬化模型可采用Hill(正交各向异性)屈服准则，屈服过程需要考虑应力方向与轴向的相对关系，可用于微结构或宏观金属的锻造过程。
在每种硬化模型中，又分为双线性、多线性和非线性模型。三者都是用来描述应力-应变增长曲线的，曲线给出了屈服应力、弹性模量等重要力学信息。双线性模型是用两条线段来描述，多线性模型是用多条线段来描述，一般使用实验得到的应变-应力数据表达。非线性模则是用一段非线性函数和参数确定塑性属性。
温度效应与加载、卸载准则
在冲击载荷下，塑性应变能大部分转化为热能，导致材料温度升高，升高的温度又会影响材料物理性能，因此在很多塑性分析中，都会将塑性热考虑到计算中。同时由于材料的硬化，加载与卸载过程有时也需要区别对待。这也是很多塑性计算需要考虑加载、卸载准则的原因。
常见的塑性模型
Johnson-Cook模型
Johnson-Cook模型广泛应用于各向同性的弹塑性材料。Johnson-Cook 本构主要适用于应变率小于1e4 s-1的变形。真实应力的表示为
其中屈服应力a应大于0，塑性硬化指数n应小于等于1。Johnson-Cook具有形式简单、易于计算的特点，并且可以同时反映出塑性应变、应变率、和温度的作用，是结构仿真中最常应用的塑性模型。输入参数如下图所示
Zerilli-Armstrong模型
和Johnson-Cook类似，是一种用于模拟各向同性的弹塑性材料。真实应力的表达式为
其中屈服应力C0应大于0，塑性硬化指数m应小于等于1。输入参数如下图所示
Hill 模型
用于描述正交各向异性的塑性材料。屈服应力定义为
Hill模型是应用最为广泛的正交各向异性弹塑性模型。输入参数如下图所示
基于应变率的多线性硬化模型
通过表格数据定义各向同性弹塑性变形。输入数据为在不同应变率下的应变-应力关系。输入数据如图所示。
Orthotropic Hill模型
正交各向异性弹塑性模型。对于实体单元，等效应力定义为：
输入参数如下图所示。
Cowper-Symonds模型
和Johnson-Cook模型类似， Cowper-Symonds用于各向同性的塑性模型。应力可以通过三个应力参数，表格数据，或者两者的结合表达。其中，三参数表达式为：
其中屈服应力a应大于0，塑性硬化指数n应小于等于1。输入参数如下图所示：
Zhao模型
此模型可以描述基于塑性应变率变形的弹塑性材料。应力计算公式为：
其中屈服应力A应大于0，塑性硬化指数n应小于等于1。当应变率小于参考应变率，应力简化为：
输入参数如下图所示。
Steinberg-Guinan模型
此模型增加了热软化效应的弹塑性模型。屈服应力的表达式如下：
输入参数如下图所示。
Gurson模型
Gurson模型可以用于粘弹塑性材料，尤其是多孔材料的计算。屈服应力可以从实验数据中获得，也可以通过Cowper-Symond模型计算得到。对于粘塑性流体下的von Mises准则，可以通过以下公式计算：
相关的参数定义如下。
Barlat3模型
Barlat3模型一种正交各向异性的弹塑性模型。常用于金属成型加工工程，如铝合金加工。因此大量应用与壳单元。塑性硬化工程可通过参数或者表格数据表达。其中平面应力的各向异性屈服准则可以通过以下公式表达
杨氏模量在塑性变形过程中的演化可以通过如下公式表达。
输入参数如下图所示：
Yoshida-Uemori 模型
Yoshida-Uemori模型可以用于大应变循环塑性变形的工况。这个模型基于屈服面与包络面理论。对于实体单元，常用vonMises屈服准则。对于板壳单元，常用Hill或Barlat3屈服准则。对应的屈服准则表达式如下：
输入参数如下图所示：
Johnson-Holmquist模型
Johnson-Holmquist模型常用于脆性材料的弹塑性过程，如陶瓷，玻璃等。此模型还可以与失效模型结合。等效应力表达式为
输入参数如下图所示：
Swift-Voce模型
Swift-Voce弹塑性模型结合Johnson-Cook应变率硬化和温度软化效果。可用于正交各向异性材料，同时允许二次的非关联流动法则。屈服应力可以通过Swift和Voce模型来综合的表达。
输入参数如下图所示：
Hensel-Spittel模型
Hensel-Spittel模型考虑了应变，应变率和温度的效用。常用于金属的热锻造过程。屈服应力的表达式为
输入参数如下图所示：
Vegter模型
屈服函数表达如下。
输入参数如下图所示：
以上所述塑性模型都支持生成OpenRadioss格式的材料文件。
塑性分析的后处理
在后处理中，弹塑性分析常需要查看额外的结果。如：
Equivalent Stress 等效应力。在硬化模型下，屈服应力的当前值。
Accumulated Plastic Strain 累积塑性应变。指在变形历史中，塑性应变率在某一路径上的总和。
Stress ratio 应力率。弹性应力与当前屈服应力的比值，是在荷载增量下产生塑性变形的指示指标。>1时，当前产生塑性变形；<1时，当前为弹性变形；=1时，当前刚达到屈服。
总结
本文介绍了有限元分析中常用的塑性模型，这些模型已经能满足大多数的工程应用场景。由于篇幅所限，并未能列出全部的公式，相关塑性模型的具体细节可以从MatEditor或其他软件中的理论手册中查找。
