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科普：形函数之图说各国美女

1年前浏览417

大家好

我是爱分享知识的团长

做CAE的你们，有限元理论学得如何呢

本期给大家分享一篇有限元理论的简单科普文

用插值法推测异域美女的外貌

趣味讲解形函数的精髓

本文转载自知乎

作者-鼎天立地

举一个不那么抽象的例子。

比如我们知道中国人的长相，也见过了英国人的长相，那么请问在中亚地区的人大概长啥样？

大致猜一下就是介于两者之间啦。而且具体来说就是越偏西，比如土耳其，长得更“欧”一点；越偏东的国家比如哈萨克斯坦，长得更“亚”一点。比如新疆妹子其实就已经跟汉人很像了。贴几张图片，诸君仔细感受下。

英国妹子

中国新疆妹子

用一个函数去表示就是：

欧亚大陆人的长相 = N1*英国人长相+N2*中国人长相

其中N1和N2就是形函数，其变量是所在地的经度。欧亚大陆人的长相其实是两头长相的加权平均。由于我不懂任何人类学的知识，所以上述例子是我胡诌的。

形函数用巧妙的方法表示有限元单元内任何一点的位移。一根如意棒左端往东移动了三米，右端往东只移动了两米，我用屁股想一下就能知道它肯定伸长了，而且它中间点的位置肯定往东移动了2.5m，靠左1/3的位置应该往东移动了2.3333米。这时候我们迫切需要一个函数，在得知两头位移的条件下来描述整根如意棒的位移。

由于有限元需要等参化（就是上篇文章讲的人偶诅咒的故事，所以形函数一般都用在形状简单的母单元 (parent element)上面。比如最简单的一维单元（如意棒），其母单元肯定长这样：

为什么说肯定，因为我想不出比它更简单的母单元了……

那么如果左端 i 点位移是

，右端 j 点位移是

，那么靠左1/3的位置，我们发现其坐标是-1/3，其位移肯定是

如果是靠右2/13的位置，那么不难算其坐标为9/13，位移肯定是

所以形函数呼之欲出了！任何一点坐标为S 的话，那么其位移肯定是：

其中

比如我取中间点，

，那么

，恰好是两个端点位移的平均！（废话）

形函数表示单元任意点位移比较好的写法其实是：

（总之怎么懒怎么来）

二维条件下，三角形单元内部任何一个点位移可以配合三个结点的位移和形函数写成：

这里形函数弄了两层楼因为毕竟每个点的运动有两个维度嘛，所以我觉得在四维碎片里面的形函数一定是四层楼的！当然也有同学喜欢这样写：

写法无所谓，字迹工整就行。

再譬如，四结点单元母单元的形函数就是：

构造得真是巧妙！

所以知道四个结点位移的前提下，该单元内部任意一点的位移就是：

至于更复杂的单元，比如八结点单元，形函数当然更复杂，可以留给“有兴趣的读者”去查阅。我反正已经一把年纪了都没记住过，每次都是查书。

总之有了形函数，我们才能真正地把有限元的母单元做成提线木偶：只要抓住它的结点位移，就能推算出单元内部任意点的位移，进一步构造出整个单元的位移场 (displacement field)。

本期的形函数先分享到这里。

手机边的你学会了吗？

来源：CAEer

著作权归作者所有，欢迎分享，未经许可，不得转载

首次发布时间：2023-06-27

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