周期结构和阵列

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1.周期结构的色散特性

波数k描述电磁波传输特性的重要参数，在无损的情况下，相位常数β=k.。通常相位常数β是频率ω的的函数，一旦相位常数已知，则相速度（Vp）和群速度（Vg）可以由以下公式获得：

Vp=ω/β和Vg=dω/dβ

更进一步，可以确定场分布。对于自由空间中的平面波，相位常数β和频率ω是线性关系：

对于EBG结构上的表面波而言，要得到准确的波数k是非常难的，但可以通过求解特征值方程（通常不唯一）或者全波仿真获取。换言之，同一个频率下，可能存在多个传播常数，每个传播常数所对应的每个模式都有其传播的相速度，群速度和场分布，此时就可以用相位常数β和频率的关系图所表示，也即色散特性图(Dispersion diagram)。

对EBG等周期结构而言，场分布周期性的（带有相位延迟，由波数k和周期P决定），因此每个表面波模式可以分解成无限个空间谐波：

这里假设周期和传播的方向都是x轴，尽管这些谐波具有不同的相速度，但群速度却一样。除此之外，这些谐波是不能单独存在的，因为单个谐波并不能满足周期结构的边界条件，只有当所有谐波合并到一起时，才能满足边界条件。从上面的方程可以发现，色散曲线βx(ω)也是以沿着β轴以2π/p为周期的。因此整个色散特性曲线就可以只考虑0≤βxn≤2π/px，也即所知的Brillouinzone（布里渊区），拓展到y方向，布里渊区就可以表示为一个方形区域：

0≤βxn≤2π/px，0≤βyn≤2π/py