算例分享：模态振型的正交性验证

本文摘要（由AI生成）：

本文介绍了利用Mechanical APDL进行两自由度弹簧-质量系统的模态分析，包括建模、分析、后处理及结果验证。建模过程中定义了弹簧和质量单元类型，并施加了约束条件。分析结果显示了系统的自振频率和各阶振形的位移信息。通过验证振形向量的正交性和归一化条件，证明了模态分析结果的正确性。这一分析过程为理解和优化弹簧-质量系统的振动特性提供了基础。

本节以一个两自由度弹簧-质量系统为例，介绍Mechanical APDL中的模态分析方法，并对模态的正交性进行验证。

1.问题描述

弹簧质量系统，如图1所示。其中的弹簧刚度K=2000N/m，质量M=10kg。质量仅在水平方向有自由度，分析此系统的振动模态，并验证各阶振形的正交性。

图1弹簧质量系统示意图

2.建模与分析

采用APDL命令方式完成建模和分析过程，具体采用的命令流及说明如下。

施加了约束条件后的分析模型如图2所示。

图2 分析模型及约束条件

3.结果后处理与验证

求解结束后，进入后处理器，采用下列命令提取计算得到的频率及振形结果。

执行SET,LIST命令后，列出弹簧-质量系统的自振频率如图3所示。

图3 弹簧-质量系统的自振频率结果列表

读入系统的1阶模态计算结果后，PRNSOL命令列出各节点的X方向位移信息如下：

THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM 

    NODE      UX   

       1   0.0000   

       2  0.16625   

       3  0.26900   

读入系统的2阶模态计算结果后，PRNSOL命令列出各节点的X方向位移信息如下：

THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM 

    NODE      UX   

       1   0.0000   

       2  0.26900   

       3 -0.16625  

由上述信息可知，系统的振型向量为：

下面对振形的正交性及归一化进行验证：

由以上的计算可知，两个振型向量均满足振形向量关于质量矩阵的正交性以及归一化条件，验证了模态分析结果的正确性。