基于伽辽金法的一维杆单元方程推导

本文基于伽辽金法推导线弹性、常横截面积的一维杆的单元方程。该杆受拉力T，方向沿杆的局部坐标轴，作用在节点1和节点2上。

假定杆的横截面积不变为A，弹性模量为E，初始长度为L。节点自由度即为局部轴向位移（沿杆长度方向的位移），该自由度位于杆单元端部，用u₁和u₂表示，如图1所示。

图1 受拉力T作用的杆，正向节点位移和力均沿局部x方向

根据胡克定律和应变/位移关系可以得出：

(1)

据力的平衡原理，对于仅在端部作用有载荷的杆有：

(2)

联立式(1)和式(2)有：

(3)

式(3)对x求微分，得到控制线弹性杆特性的微分方程为：

(4)

在推导过程中假定(1)杆不能承受剪力和弯矩;(2)忽略横向位移的影响;(3)杆在载荷的作用下一直处于线弹性状态;(4)杆中间没有外加的载荷。

由于杆的位移始终沿杆的x轴线性变化，因此假定杆的位移函数u为：

(5)

这里的系数a_i的总数总是等于与单元有关的自由度的总数。由于在杆的局部坐标系下仅有杆单元两个节点的轴向位移。因此自由度数为2。

杆单元的边界条件为：

(6)

将边界条件带入位移函数解得：

(7)

将式(7)带入式(5)并表示为矩阵形式有：

(8)

其中N_i为形函数，表示为：

(9)

使用伽辽金法，选取形函数N_i为权函数ψ，残余定义为：

(10)

带入伽辽金准则方程式(4)有：

(11)

对上式进行分部积分，分部积分的一般形式为：

(12)

在式(11)中，令：

(13)

对式(11)进行分部积分，有：

(14)

由于u = [N ]{d }，因此：

(15)

将式(15)带入式(14)有：

(16)

当N_i=N₁时

带入式(16)有：

(17)

而式(17)右端有：

(18)

故计算式(17)有：

(19)

同理当N_i=N₂时可得到：

(20)

写为矩阵形式有：

(21)

即为：

(22)