ABAQUS增量迭代法简介
1. 非线性问题的求解
在有限元分析中，常见的非线性因素有材料非线性、几何非线性和边界非线性等，无论是哪种非线性因素，结构的非线性载荷-位移曲线都可以表示为如图1.1所示的形式：
图1.1 非线性载荷-位移曲线
分析的目标即为确定该载荷-位移响应。在非线性分析中，我们并不能像线性问题那样直接通过求解简单的线性方程来计算，而是需要将载荷看作随时间变化的函数，并确定合适的时间增量步迭代求解，该求解方法即为增量迭代法。ABAQUS/Standard会将仿真过程分割为若干个时间增量步，并在每个时间增量步的结束时刻寻找平衡方程的近似解。通过使用Newton法，ABAQUS通常需要在每个时间增量步内进行多次迭代来获得收敛的结果。
考虑外力P和内力（节点力）I作用在一个物体上，如图1.2所示。作用在节点上的内力是由单元应力引起的。
图1.2 作用在物体上的外力和内力
如果物体处于平衡状态，则作用在节点上的残余节点力应该等于零。因此，在内力和外力的作用下，系统的平衡方程为：
由于载荷增量ΔP引起的结构的非线性响应如图1.3所示。ABAQUS/Standard使用结构位于u0处的切线刚度K0和ΔP来计算位移修正量ca。通过使用ca，可以计算得到附加载荷增量ΔP后结构的位移ua。
图1.3 增量步的第一次迭代
随后ABAQUS/Standard将会计算位移ua对应的结构内力Ia。施加的外力P和结构内力Ia之间的差值为：
其中Ra即为此次迭代下的残余力。
如果在模型的每个自由度中Ra都等于零，则图1.3中点a将会位于载荷-位移曲线上，即代表结构是平衡的。在非线性问题中，Ra是不可能等于零的，因此ABAQUS/Standard会将Ra与某个容差值进行对比。如果在所有节点上，Ra都是小于这个残余力容差，那么ABAQUS/Standard将会认为系统处于平衡状态。在默认情况下，这个容差值为整个时间历程内结构平均节点力的0.5%。ABAQUS/Standard将会在仿真过程中自动计算该节点平均力。你可以在求解控制（solution controls）中更改该容差或所有与之类似的容差。
如果Ra小于当前容差值，那么在当前载荷下ua被认为是一个有效的平衡状态下的位移。当然，在此之前，ABAQUS/Standard还会检查最后的位移修正值ca是否相对于总的位移增量Δua=ua-u0足够小。如果ca大于了位移增量的某个百分比（默认为1%），ABAQUS/Standard仍将进行下一轮迭代。只有当两个收敛准则同时满足时，ABAQUS/Standard才认为计算结果是收敛的。
如果在此轮迭代中计算并未收敛，ABAQUS/Standard将会尝试下一轮迭代使得内力和外力尽可能接近平衡状态。首先，ABAQUS/Standard将会基于更新后的位移ua计算新的切线刚度Ka。该刚度值与残差力Ra将共同确定新的位移修正值cb，并使得系统更接近平衡状态（图1.4中的b点）。
图1.4 第二次迭代
ABAQUS将会使用更新后的位移值ub来计算新的残余力Rb。同样地，在任意自由度下的最大残余力Rb都将与残余力容差进行比较。第二次迭代下的位移修正值cb也将与位移增量Δub进行比较。如果问题仍未收敛，ABQUS/Standard将再次进行迭代。
在非线性分析的每次迭代过程中，ABAQUS/Standard都将计算模型的刚度矩阵并求解方程组。因此，每进行一次迭代的计算量也接近一次完整的线性分析的计算量，使得求解非线性问题的计算量是线性问题的数倍。由于ABAQUS/Standard可以输出每一次平衡增量步下的计算结果，这也导致非线性问题输出的数据远大于线性问题的数据。
默认情况下，ABAQUS/Standard将会自动调整增量步的大小以高效地求解非线性问题。你只需要指定初始增量步的大小，ABAQUS/Standard将会自动调整后续增量步的大小。对于高度非线性问题，ABAQUS/Standard将会不断缩小增量步的大小以获得平衡解，这也将耗费大量的计算时间。因此，在轻微非线性的问题中，推荐设置一个较为合理的增量步以节省计算时间。
使得问题收敛所需的迭代次数取决于问题的非线性程度。在默认的增量控制下，迭代过程如下所述。如果在经历16次迭代后计算仍然没有收敛，或者求解出现不收敛的情况，ABAQUS/Standard会将增量步设置为前一个增量步的25%，并使用减小后的时间增量进行迭代。如果求解依然不收敛，ABAQUS/Standard将会再次减小时间增量的大小。该过程将会一直重复直到求解收敛。如果时间增量在经过多次缩减后小于了你定义的最小增量步，或者经过5次缩减后问题依然不收敛，ABAQUS/Standard将会终止此次计算。
如果在5次迭代内该增量步就收敛了，则表明该问题比较容易求解。因此，如果在连续两个增量步中迭代次数均小于5次，则ABAQUS会自动将增量步增长50%。
尽管默认的自动增量控制对于大多数分析都是适用的，你依然可以在求解控制中更改所有的默认选项。
2. 增量迭代法示例
为了对上述的迭代过程有更清晰的认识，本文以一个简单的非线性方程为例，运用Newton法对该方程进行迭代求解。
假定载荷P和位移u之间满足下述非线性关系：
现在需要求解载荷P=4时对应的位移值u。
按照前面所述，ABAQUS/Standard首先会将仿真过程分割为若干个时间步，并在每个时间步的终止时刻寻找平衡方程的近似解。这里将总的分析时间设为1s，初始时间增量步Δt取为0.5s，假定在分析过程中载荷随时间线性增长，因此有：
而u0=0对应的切线刚度K0为：
因此位移修正量ca为：
可以计算得到附加了ΔP之后的位移ua为：
而在位移ua下的内力Ia（实际的载荷）为：
因此此次迭代的残余力Ra为：
比较残余力Ra和内力Ia有：
这显然大于ABAQUS默认的0.5%的容差，因此迭代过程不收敛。ABAQUS将进行下一轮迭代。为了区分每一次迭代步，以下用上标i表示每一次迭代。
ABAQUS首先根据更新后的位移值ua（以下用u1表示）计算新的切线刚度K2：
新的切线刚度K2和第一次迭代的残余力Ra（以下用R1表示）将共同确定新的位移修正量c2：
因此新的位移值u2为：
而在位移u2下的内力I2为：
因此此次迭代的残余力R2为：
比较残余力R2和I2有：
这仍然大于ABAQUS默认的容差，迭代不收敛，但相比于第一次迭代，第二次迭代显然已经更接近于真实值。以下不再赘述每一次迭代过程，每次迭代过程如表2.1所示。
表2.1 第一个增量步的迭代过程
从表2.1中可以看出，在经过5次迭代后误差小于ABAQUS默认的0.5%的容差，然而最后一次迭代的位移修正值为-0.0092，而总的位移增量为0.6932，因此位移修正值与总的位移增量比值为-1.33%，这大于了ABAQUS默认的1%的容差，因此还需要进行一轮迭代。但是从工程运用的角度来看，此时的数值解已经足够精确了。按照前文所述，如果在经过16次迭代后该增量步下仍然不收敛，则ABAQUS会将增量步设置为前一个增量步的25%并继续迭代。如果经过5次缩减后问题仍然不收敛，则ABAQUS将终止计算。
在第一个增量步的迭代过程如图2.1所示。
图2.1 第一个增量步迭代过程
从图2.1中可以看出，随着迭代过程的进行，数值解将不断逼近于精确解，而收敛速度的快慢则取决于切向刚度的大小，但切向刚度并不会影响结果的收敛性。
在第二个增量步中，仍然假定增量步为0.5，则对应的载荷增量ΔP2为2，对应的载荷值为：
ABAQUS将根据第一个增量步结束时的位移值形成新的切向刚度，并根据残余力计算新的位移修正值，进行下一轮迭代，迭代过程与上述过程是完全相同的，每次迭代过程如表2.2所示。
表2.2 第二个增量步迭代过程
在第二个增量步中，经过3次迭代后，残余力与内力的比值小于了0.5%的容差，可以认为迭代已经收敛。因此当P=4时，对应的位移值u为1.3872。
