基于FEM与VDI 2230标准结合的螺栓强度校核系列1: 模型简化对螺栓工作载荷的影响研究
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VDI 2230标准简介
VDI（Verein Deutscher Ingenieure）是德国工程师协会的简称，因此VDI 2230标准是德国工程师协会标准，主要用来计算校核高强度螺栓连接系统的安全。VDI 2230标准由上下两册构成，上册VDI 2230 Part I给出了单个高强度螺栓的系统计算方法；而下册VDI 2230 Part II为多螺栓连接的计算，主要介绍多螺栓接头在按照不同排列方式的情况下，总的外载荷在各个螺栓之间是如何分配的，其用到的理论方法包括刚体力学、弹性力学和有限元法等。VDI 2230 Part II配合VDI 2230 Part I，可以完成在多螺栓连接结构分离出单个最危险螺栓，并进行螺栓强度校核。
VDI 2230标准的校核目标是保证螺栓连接的可靠性，在装配和各种工作状态下不屈服、不疲劳、不压溃以及不滑移（当接合面存在横向载荷时），主要是通过相应的安全系数来保证，分别为：
（1）工作应力安全因子（R8）
（2）疲劳安全因子（R9）
（3）表面压力安全因子（R10）
（4）抵抗滑移安全因子（R12）
对于计算上述安全因子，VDI 2230 Part I针对单个螺栓给出了一套较为规范的计算流程，如表1所示。
表1 VDI 2230 Part I工作流程
表1中给出的计算流程主要针对单个螺栓，对于多螺栓连接结构，在确定工作外载在每一颗螺栓上的分配后，也可以根据每一颗螺栓的工作载荷对其进行应力计算和强度校核。以工作应力的校核为例，若已知危险螺栓所受的工作载荷，则螺栓的工作应力可表示为：
式中：FSmax和MSbO分别为螺栓在工作状态下所受的轴力和弯矩，As为螺栓的应力截面积，Ws为对应的螺栓弯曲截面系数。上式不仅考虑了轴向应力和弯曲应力的贡献，还考虑了螺栓拧紧过程中可能产生的残余扭转应力，VDI 2230推荐的取值为扭转应力的50%（kt=0.5），但这个取值具有非常大的不确定性。
在得到螺栓的工作应力后，通过与材料的屈服强度进行比较即可得到对应的安全系数：
可以看到，螺栓工作载荷的计算是基于VDI 2230标准进行螺栓强度校核的重要内容。对于多螺栓连接结构，由于工作外载的载荷分配受螺栓刚度和被夹体刚度的影响很大，因此采用传统的刚体力学法可能无法准确计算螺栓的工作载荷，这也是为什么VDI 2230标准推荐采用有限元法来考虑多螺栓连接的载荷分配问题。
当采用有限元法进行螺栓强度计算时，根据螺栓简化方式的不同，VDI 2230 Part II将螺栓模型分为四个等级，如表2所示。
表2 VDI 2230推荐的螺栓建模等级
I级螺栓模型由于并没有建立螺栓模型，因此主要用于提取被夹体接合面的支反力；而II级螺栓模型由于采用梁单元进行建模，因此可以施加预紧力，并且可以直接提取螺栓的轴力和弯矩，但螺纹连接和螺栓头与被夹体之间的接触只能通过多点约束（MPC, Multi-Point Constraint）进行模拟，因此螺栓整体刚度偏大，并且无法准确计算被夹体接合面的压力分布；III级模型由于建立了螺栓实体，因此可以较好地反应螺栓与被夹体之间的接触行为，相比于II级模型更接近真实情况；IV级模型在III级模型的基础上进一步考虑了螺纹连接，因此最接近真实情况，但考虑螺纹的建模更复杂，并且由于在螺纹区域需要划分非常细密的网格，因此计算效率远低于其余三种模型，通常仅用于分析螺纹连接局部的应力分布情况。
III级螺栓模型通过简化螺纹连接很好地平衡了计算精度和效率的要求，因此在螺栓连接的强度校核中应用最为广泛。ANSYS基于VDI 2230标准开发的Bolt Assessment inside ANSYS软件更是支持批量建立II级/III级螺栓模型，并自动进行螺栓强度校核。然而，当基于有限元法计算螺栓的工作载荷时，III级螺栓模型的简化处理是否会对工作载荷的计算精度产生影响，目前却并不清楚。为了评估模型简化对于螺栓工作载荷的影响，本文分别采用VDI 2230推荐的III级和IV级螺栓模型建立了单螺栓连接结构，用以研究模型简化对于螺栓工作载荷、应力分布以及被夹体表面接触状态的影响。
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分析案例
本文构造了如图1所示的一个单螺栓连接结构作为分析案例。
图1 单螺栓连接结构
该螺栓连接结构由上板、下板、螺栓及螺母构成，其中螺栓的规格为M12×38-8.8，为了保证被夹体的刚度，设置下板的厚度为上板厚度的2倍，并且约束其侧面的位移自由度。在初始装配状态，螺栓将受到预紧力FV的作用，参考VDI 2230 Part I Table A11，可知M12螺栓的螺距P为1.75，应力截面积As为84.3 mm2，螺栓的屈服强度Rp0.2为640 MPa，假设螺栓的最大预紧力FV应使得螺栓的名义应力达到螺栓屈服强度的60%，则可以计算得到螺栓的预紧力为：
参考标准GB/T 16823.1 螺纹紧固件应力截面积和承载面积，应力截面积As的计算公式为：
式中：ds为螺纹部位横截面的直径（Thread Shaft Diameter），因此As实际上即为螺纹部位的截面积。而ds的定义为：
式中：d2为螺纹中径（Pitch Diameter），d3定义为螺纹小径d1减去螺纹原始三角形高度H的1/6，即有：
式中：
在工作状态下，在上板的端面施加大小为60 MPa拉伸均布载荷作为工作外载，使得螺栓处于拉伸和弯曲状态。
2.1
不考虑螺纹的III级螺栓模型
当采用不考虑螺纹的III螺栓模型建立有限元模型时，螺杆部分的直径取为公称直径d，螺纹部分的直径取为d3。对于待分析的螺栓M12×8.8，同样通过查询VDI 2230 Part I Table A11可确定其小径截面积Ad3为76.25 mm2，因此其d3=9.8531 mm。因此采用无螺纹的建模方式建立的III级螺栓有限元模型如图2所示。
图2 III级螺栓有限元模型
在本文建立的有限元模型中，共存在四对接触，如表3所示。
表3 有限元模型接触设置（III级螺栓模型）
上表中各个接触对中的第一个部件为接触主面，第二个部件为接触从面，对于采用摩擦接触的接触对，统一取摩擦系数为0.14。实际情况下，螺纹啮合区域、上下板接合面以及螺栓与上板接合面之间的摩擦系数可能均不相同，需要分别设置不同的摩擦系数。由于没有考虑螺纹，因此螺栓与螺母之间的连接通过绑定约束模拟。
有限元分析由两个分析步构成，第一个分析步用于施加螺栓预紧力；第二个分析步用于施加工作外载。计算时需打开大变形开关以考虑几何非线性行为。在有限元软件Abaqus中，螺栓预紧力通过Bolt Load进行施加，并且在第二个分析步中固定螺栓长度。在通过Bolt Load施加预紧力时，需要指定用于加载的螺栓截面，螺栓截面可以选取在无螺纹的螺杆任意位置，本文选取为上下板接合面所在的平面。
2.2
考虑螺纹的IV级螺栓模型
当采用考虑螺纹的IV级螺栓模型建立有限元模型时，需要同时建立考虑螺纹的螺栓和螺母模型，如图3所示，并考虑螺栓和螺母螺纹之间的摩擦接触，关于含螺纹的螺栓和螺母的建模方法参见《一种螺栓连接结构有限元模型的精细建模方法》。
图3 考虑螺纹的IV级螺栓模型
对于考虑螺纹的IV级螺栓模型，除增加了螺栓与螺母之间的螺纹接触以外，其余载荷和边界条件等设置与不考虑螺纹的III级螺栓模型完全一致，这里不再赘述。
2.3
螺栓工作载荷提取
通过有限元分析获得螺栓在工作状态下的应力分布后，即可提取螺栓的工作载荷。下面取处于工作状态的螺栓进行受力分析，首先将螺栓沿螺杆中部截开，为了便于分析，取不存在螺纹的螺栓头一侧作为分离体，则该部分螺栓的受力示意图如图4所示。
图4 螺栓受力示意图
图中的部分螺栓在阴影区域承受有被夹体所施加的压力分布载荷（图中未给出），从而在螺栓截面部位产生应力分布，由于在进行螺栓连接结构设计时即要求螺栓应尽量避免承受剪切载荷，因此在计算螺栓工作载荷时可以仅考虑螺栓截面存在的轴向应力分布σzz。
如果将作为分离体的部分螺栓简化为等效的杆梁结构，则螺栓的工作载荷即为作用在螺栓截面的轴力和弯矩。
作用在螺栓截面的轴力为：
同理，可得到作用在螺栓截面上的x和y方向的弯矩分别为：
因此，作用在螺栓截面上的合弯矩为：
在有限元软件Abaqus中，螺栓截面的内力和弯矩可以通过如下所述的两种方式提取：
(1)通过Step模块的Output→Integrated Output Sections定义积分输出截面，并选取待提取工作载荷的螺栓截面作为积分输出截面。然后在Step模型新建一个时间历程输出（History Output Requests），在Domain中选择Integrated Output Section，并选择输出的时间历程变量为SOF（内力）和SOM（弯矩），如图5所示。
图5 螺栓截面内力和弯矩输出
(2)在计算完成后，通过后处理模块的View Cut Manager定义切片，并通过View Cut Options的Slicing指定切片数量。然后通过Report中的Free Body Cut输出每一个切片上的内力和弯矩，如图6所示。这种方法可以同时输出多个螺栓截面上的内力和弯矩。
图6 模型切片定义
2.4
计算结果分析
螺栓工作载荷
基于上述两种模型，本文研究了是否考虑螺纹对于螺栓工作载荷的影响，得到螺栓轴力和弯矩随工作外载的变化如图7所示。
图7 螺栓工作载荷随外载的变化规律
从图7中可以看到，当工作外载较小时，由不考虑螺纹的III级螺栓模型和考虑螺纹的IV级螺栓模型计算得到的螺栓工作载荷非常吻合。随着工作载荷的增大，两种模型的偏差逐渐增大，但基本处于可以接受的范围。并且本文为了研究外载对于螺栓工作载荷的影响，本文施加了一个非常大的外载，以致于螺栓已经出现非常明显的杠杆效应，被夹体部分接合面已经完全脱开，如图8所示，这在实际情况中是不允许出现的。
图8 螺栓连接米塞斯应力云图（变形放大倍数：10）
通过选取不同螺栓截面，图9给出了工作外载下螺栓工作载荷沿螺栓轴线的分布情况。
图9 螺栓工作载荷沿螺栓轴线的分布
从图中可以看到，在螺纹区域，螺栓的轴力随着螺纹圈数的增加而逐渐增大，这是因为螺纹是螺栓的主要承载部位；在螺杆区域，螺栓的轴力基本维持为恒定值；而在螺栓头区域，由于螺栓螺纹处的载荷与螺栓头处的载荷平衡，因此在螺栓头区域的内力为零，这些现象很容易通过在不同部位取分离体进行受力分析来解释。这也提示我们，在计算螺栓工作载荷时，应提取螺杆而非螺纹部位的轴力。
对于螺栓不同截面的弯矩分布，可以看到当考虑螺纹时出现了较为明显的振荡现象，并且弯矩在螺纹和螺杆区域均不为恒定值。出于保守估计，可以取螺杆靠近螺栓头部位的弯矩作为螺栓的工作载荷。
应力分布
图10给出了工作外载作用下两种螺栓模型的Von Mises应力云图对比，为了保持对比的一致性，两个云图使用了相同的图例范围。
图10 不同螺栓模型的米塞斯应力云图对比
从图中可以看到，由于不考虑螺纹的III级螺栓模型采用了绑定约束以模拟螺纹连接，因此两种模型在螺纹连接区域的应力云图存在较大差别，而在螺杆区域，两种螺栓模型的应力分布几乎完全一致。
被夹体接触状态
在工作外载作用下，螺栓应产生足够大的预紧力使得被夹体的接合面不出现脱开的情况。为了验证不考虑螺纹的III级螺栓模型同样具备评估被夹体接触状态的能力，图11给出了通过两种螺栓模型计算得到的被夹体接触状态。
图11 不同螺栓模型中的被夹体接触状态
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结论
为了评估螺栓模型简化对于螺栓工作载荷计算的影响，本文分别采用VDI 2230标准推荐的III级螺栓模型和IV级螺栓模型建立了单螺栓连接结构，并分析了模型简化对于螺栓工作载荷、应力分布以及被夹体表面接触状态的影响。结果表明，模型简化对于螺栓工作载荷、应力分布和被夹体表面接触状态的影响均很小。鉴于III级螺栓模型很好地平衡了计算效率和精度，因此在基于VDI 2230标准进行螺栓强度校核时，可以采用III级螺栓模型进行建模。
两种螺栓模型的有限元求解文件可通过回复关键词螺栓模型获取。
