离散傅里叶变换学习笔记

DFT的源头，是连续傅里叶变换，用于将连续时间信号x(t)转换成连续频域信号X(f)。

但是，连续傅里叶变换不适合计算机上应用，所以工程师们就发明了离散傅里叶变换(DFT)。

其中，x(n)是离散输入序列，X(m)是离散输出序列。x(n)和X(m)的个数都是N。也就是说，如果有N个离散输入数据，则其DFT也会产生N个离散输出数据。

N不仅是离散输入数据的数量，也是输出数据的数量，同时还决定DFT的计算量以及输出的频率分辨率。N越大，DFT的计算量越大，频率分辨率也越高。

假设，用500SPS的采样率去采一个连续时间信号，然后做一个N=16的DFT变化，则出来的结果都分布在mfs/N=m*31.25Hz上。

从上面公式可以看出，DFT变换后，不仅有我们常规看到的频谱幅度，还有频谱相位。这个相位也很有用。比如想测量多通道ADC的相位一致性的时候，就靠这个指标。

假设有两个信号，分别为:

xt1=sin(2*pi*1000*t)和xt2=0.5*sin(2*pi*2000*t+3*pi/4)，将两个信号叠加,波形如下图所示。

对其做DFT变换，则：