DFT之窗函数

DFT之泄露，关于泄露的现象以及产生的原因；

今天这篇，主要是关于窗函数。

窗函数

为了减小DFT的泄露，需要减小主瓣宽度和旁瓣幅度；理想的窗函数是主瓣宽度窄，旁瓣幅度小。

矩形窗函数首尾值的突变，是其产生旁瓣的原因。所以，可以通过将输入序列的首尾数据平缓连接，以减小旁瓣的幅度，进而减小DFT的泄露。

所以，各种各样的窗函数就被发明了，常用的窗函数有:矩形窗函数、Hanning、Hamming窗函数、Blackman等。

上图是上面四种窗函数的时域和频域的表示。

从频域可以看到，主瓣幅度rect>hamming>hann>blackman，这在时域也比较好理解。

因为Hanning、Hamming和Blackman函数都减小了用于DFT运算的时域信号幅度，所以其主瓣幅度低于矩形窗函数的主瓣幅度，这个幅度损失，称之为处理增益或者处理损耗(processing gain/processing loss)。

将上图中的右图的幅度归一化，可以得到：

可以看到:

(1) 从主瓣宽度来看：rect<hamming<hann<blackman;

(2) 从旁瓣大小来看：rect>hamming>hann>balckman

对信号加窗函数，有助于我们识别大信号旁边的小信号。

比如，我们对xn=sin(2*pi*1800*n/fs)+0.0001*sin(2*pi*1950*n/fs)做加窗操作，并作2048点的DFT变换，其中fs=8000.

Matlab程序如下：

clc;

clear all;

close all;

K=2048;

n=0:1:K-1;

fs=8000;

xn=sin(2*pi*1800*n/fs)+0.0001*sin(2*pi*1950*n/fs);

figure (1);

plot(n,xn);

figure (2);

subplot(2,2,1);

m=0:1:K/2;

Y=fft(xn'.*rectwin(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y(1:(K/2+1)))/max(abs(Y(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('rect')

subplot(2,2,2);

Y1=fft(xn'.*hamming(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y1(1:(K/2+1)))/max(abs(Y1(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('hamming')

subplot(2,2,3);

Y2=fft(xn'.*hann(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y2(1:(K/2+1)))/max(abs(Y2(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('hann')

subplot(2,2,4);

Y3=fft(xn'.*blackman(K),K);

plot(m*fs/K,20*log10(abs(Y3(1:(K/2+1)))/max(abs(Y3(1:(K/2+1))))),'Linewidth',1)

title('blackman')

运行结果如下图所示:

可以看到，如果使用rect和hamming这两种窗函数的话，则不能识别出小信号；但如果用hann或者blackman这两种窗函数的话，则能识别出大信号旁边的小信号。

选择窗函数，需要根据应用情况，在主瓣宽度、第一旁瓣幅度、旁瓣的衰减速度之间的折衷。

参考文献：

[1]RICHARD G. LYONS Understanding digital signal processing

[2]J. Fessler, chapter 5, The Discrete Fourier Transform