定点数和浮点数

定点数

定点数是指，数字在小数点之后和之前具有固定的位数。

可以用Qm.n表示法进行表示.

• m位为整数部分 

• n位小数部分

• 有符号数的总位数N = m + n + 1

当n=0时，则定点数用来存储整数。

定点数(整数)

定点数可以用来存储整数，包括正整数和负整数。定点（整数）表示的常见格式有unsigned integer, offset binary, sign and magnitude, two’s complement。

假设每个整数都用4个bit来表示，则在上面四种格式下，二进制和十进制之间的关系如下图所示。

Unsigned integer是最直观的二进制格式，用windows自带的计算器就能实现换算。

Offset binary与unsigned integer类似，不同之处是相同的二进制表示，offset binary下代表的十进制数与unsigned integer下代表的十进数有一个整体偏移，这样就可以表示负数。

比如在图1中，4 bit二进制数对应于整数-7~8，在offset binary格式下，十进制数整体偏移了7。

对于这个偏移量，没有固定标准，比如上面的偏移量是7，也可以为8。在ADC和DAC中，经常会用到offset binary.

sign and magnitude是表示负整数的另一种简单方法。 最左边的位为符号位，0代表正数，1代表负数。其他位是数字绝对值的标准二进制表示形式。因为对于零有两种表示形式，即0000（正零）和1000（负零）,所以会导致一个浪费的位模式。

Two’s complement(二进制补码)是硬件工程师喜欢的格式，也是计算机中通常表示整数的方式。 最左边的位为符号位，0代表数字为正数或0，1代表数字为1。

其编码模式可以理解为：

对于4bit二进制，其二进制表示仍为0000~1111。如上图所示，将圆盘分为16等分，把0000~1111依次带入。然后以0为分界线，按顺时针转，即0000~0111代表0~7；按逆时针转，即1111~1000代表-1~-8。

采用二进制补码时，对于正数，在十进制数和二进制补码之间进行转换很简单，即从十进制到二进制的简单转换。 对于负数，通常使用以下算法：

（1）取十进制数的绝对值，

（2）将其转换为二进制，

（3）对所有位进行补码（1变为零，0变为1），

（4）在二进制数上加1。

二进制补码对人类的大脑来说比较复杂，但是在进行数据处理时，则非常方便。

定点数(小数)

以上是当N=16时，不同的m/n值时，所对应的动态范围和精度。

浮点数(实数)

浮点数的编码方案比定点的编码方案复杂，其基本概念与科学计数法中的基本思想相同，两者的不同点，在与浮点数的基为2，科学计数法的基为10。

ANSI/IEEE Std. 754-1985标准将32bit数据形式定义为单精度(single precision)，64bit数据形式定义为双精度(double precision)。

以单精度为例，将其32位分为三个独立的组：位0到22形成尾数(记为M)，位23到30形成指数(记为E)，位31是符号位(记为S)。则：

IEEE标准将最大数和最小数的范围略微缩小，分别为和。

与定点设计相比，浮点设计会消耗更多的FPGA资源，带来更高的消耗。所以在满足指标要求的情况下，优先采用定点设计，可以有助于降低FPGA资源的使用、减少功耗。

文献[3]中，则阐述了，在保证指标的情况下，采用定点设计，可以减少资源使用，进而降低功耗。

参考文献：

[1]The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing_Ch4

[2]EE 3610 Digital Systems

[3]Ambrose Finnerty and Hervé Ratigner，Reduce Power and Cost by Converting from Floating Point to Fixed Point

[4]Floating Point Converter：https://babbage.cs.qc.cuny.edu/IEEE-754.old/Decimal.html