数值计算&Matlab——Lagrange插值

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今天给大家带来的是插值思想最经典的Lagrange插值，理论部分详见各种教科书，木木只负责提供代码，所演示的代码可直接拿走食用。

例：列车从直道进入到半径为R的圆弧弯道时，为安全行驶，往往需要进行一段缓冲区（缓和曲线哦，木木本科就是道路方向的哈哈哈），如图所示：

我国铁路大部分采用三次抛物线型缓和曲线。现测得某缓和曲线上4点不同的坐标如下表所示：

x坐标（m）	0	60	120	180
y坐标（m）	0	0.45	3.6	12.15

是利用Lagrange多项式插值法求缓和曲线的方程，并求x=115m时y的坐标

代码1：

function varargout = lagrange_interp(xdata,ydata,xi)%拉格朗日插值n=length(xdata);                        %求向量xdata的长度if length(unique(xdata))<n               %若输入的点出现相同时，给出错误提示    error('输入的点必须是互异的.')endL=zeros(n);    %存储插值基函数for i=1:n    px=poly(xdata([1:i-1,i+1:n]));%构造以x_j为根的多项式（j=1:i-1,i_1:n）    L(i,:)=px/polyval(px,xdata(i));%求插值基函数并存储endy=sum(bsxfun(@times,L,ydata(:)));%求插值多项式if nargin==3                     %若输入参数为3    y=polyval(y,xi);              %根据插值多项式求指定点处的值end[varargout{1:2}]=deal(y,...     %第一个输出参数为插值多项式或其在某点处的值                    L);         %第2个输出参数为插值基函数

命令行输入：

xdata=[0 60 120 180];ydata=[0 0.45 3.6 12.15];y=Lagrange_interp(xdata,ydata)x=linspace(0,180);f=polyval(y,x);   %返回多项式的值plot(x,f)hold onplot(xdata,ydata,'ko')title(['缓和曲线方程：f(x)=0',strtrim(poly2str(y,'x'))])

绘图：

代码2：

function f=arui_lagrange(x0,y0,x)%x0为节点变量，y0为节点上的函数值，x为插值点，f为返回插值n=length(x0);m=length(x);format longs=0.0;for k=1:n    p=1.0;    for j=1:n        if j~=k            p=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));        end     end    s=p*y0(k)+s;endf = s;end

命令行输入：

xdata=[0 60 120 180];ydata=[0 0.45 3.6 12.15];y=Lagrange_interp(xdata,ydata，115)f=arui_lagrange(xdata,ydata,115)

得出结果：

y= 3.168489583333333

f= 3.168489583333333

来源：易木木响叮当

理论

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首次发布时间：2023-06-01