基于Mathematica插值函数的振荡现象
今天木木所要分享的是高阶插值多项式的振荡问题，初学插值函数的时候，常常在想，是不是取的节点越多，插值阶数越高，近似解就越精确呢？答案并不是这样的。当插值节点越多时，高次多项式插值经常会出现振荡现象，该多项式并不一致收敛于函数本身。我们从以下三个例题中感受基于Mathematica插值函数的振荡现象。
例1：给定函数f(x)=
pt=Table[{i,Sqrt[i]},{i,{0.49,0.64,0.81,1}}];(*构造插值节点*)l[x_]=InterpolatingPolynomial[pt,x]//Expand(*插值多项式*)t[x_]=Normal[Series[Sqrt[x],{x,1,3}]];(*泰勒展开式*){c1=Sqrt[0.98],c2=l[0.98],c1-c2,c3=t[0.98],c1-c3}Needs["PlotLegends`"](*绘制f(x),l(x),t(x)*)Plot[{Sqrt[x],l[x],t[x]},{x,0.49,1},PlotStyle->{{Red,Thick,Dashed},Blue,Black},AxesLabel->{x,y},AxesStyle->Thick,BaseStyle->{FontSize->15,Bold},PlotLegend->{Style["f(x)",14,Italic,Bold],Style["l(x)",14,Italic,Bold],Style["t(x)",14,Italic,Bold]},LegendBorder->Thick,LegendSize->{0.7,0.4}](*绘制误差函数图*)Plot[{Sqrt[x]-l[x],Sqrt[x]-t[x]},{x,0.49,1},PlotStyle->{{Red,Thick,Dashed},Blue},AxesLabel->{x,error},AxesStyle->Thick,BaseStyle->{FontSize->15,Bold},PlotLegend->{Style["f(x)-l(x)",14,Italic,Bold],Style["f(x)-t(x)",14,Italic,Bold]},LegendBorder->Thick,LegendSize->{0.7,0.4}]
得出三次插值多项式、三次泰勒多项式：
0.260062 + 1.11977 x - 0.523162 x^2 + 0.143332 x^31 + 1/2 (-1 + x) - 1/8 (-1 + x)^2 + 1/16 (-1 + x)^3
| 精确解 | 三次多项式 | 误差 | 三次泰勒 | 误差 |
| 0.989949 | 0.989893 | 0.0000567061 | 0.98995 | -6.33883e-9 |
如图所示，三次插值多项式还没表现“振荡现象”，函数的插值多项式误差在插值区间上分布均匀，而其泰勒多项式误差具有局部性质，即在泰勒展开点附近逼近效果较好，越远离该点，则逼近效果越差。
例2：给定函数f(x)=
pt = Table[{i^2, i}, {i, 0, 1, 0.1}];(*构造插值节点*)l[x_] = InterpolatingPolynomial[pt, x] // Expand(*插值多项式*)t[x_] = Normal[Series[Sqrt[x], {x, 1, 10}]](*泰勒展开式*)Needs["PlotLegends`"](*绘制f(x),l(x),t(x)*)Plot[{Sqrt[x], l[x], t[x]}, {x, 0, 1},PlotStyle -> {{Red, Thick, Dashed}, Blue, Black},AxesLabel -> {x, y}, AxesStyle -> Thick,BaseStyle -> {FontSize -> 15, Bold},PlotLegend -> {Style["f(x)", 14, Italic, Bold],Style["l(x)", 14, Italic, Bold],Style["t(x)", 14, Italic, Bold]},LegendBorder -> Thick,LegendSize -> {0.7, 0.4}]
得出10次插值多项式、10次泰勒多项式：公式太长，这里不便给出，感兴趣的小伙伴可以自行运行~
由图可以看出，f(x)的10次插值函数l(x)发生了严重的振荡现象，其结果已无法使用，而10次泰勒多项式t(x)在零点附近逼近效果较差。
例3：给定f(x)=ln(1+x)，
pt = Table[{i, Log[i + 1]}, {i, 0, 2, 0.2}];(*构造插值节点*)= InterpolatingPolynomial[pt, x] // Expand(*插值多项式*)= Normal[Series[Log[x + 1], {x, 0, 10}]];(*泰勒展开式*)Needs["PlotLegends`"]+ 1], l[x], t[x]}, {x, 0, 2},PlotStyle -> {{Red, Thick, Dashed}, Blue, Black},AxesLabel -> {x, y}, AxesStyle -> Thick,BaseStyle -> {FontSize -> 15, Bold},PlotLegend -> {Style["f(x)", 14, Italic, Bold],14, Italic, Bold],14, Italic, Bold]},LegendBorder -> Thick,LegendSize -> {0.7, 0.4}]
这个例题主要说明使用泰勒展开式需注意其收敛域，当x>1时，泰勒展开式发散，而插值多项式吻合效果很好。
总结：插值具有整体性，但高次插值可能会发生振荡现象，泰勒展开式具有局部现象，在应用时必须注意收敛域，这样得出来的结果才有意义。
