改进高斯积分方案提高计算精度

在对扩展有限元(XFEM)单元刚度矩阵组装过程即高斯积分过程会出现被积函数值的跳跃（Heaviside富集函数值的突变、裂尖增强函数值的突变），当采用常规高斯积分方案时会引起较大的数值误差。为此，Dolbow在他的博士论文中提出了新的积分方案，即将裂缝位置富集单元进行子块划分：三角形划分、四边形划分。极大地提高了求解精度。本篇推文旨在讲述分块积分的优势，以一维问题为例说明不同积分方案的特点，求解工具采用Mathematica。

Example

• 方案一，2点高斯积分
• 方案二，4点高斯积分
• 方案三，8点高斯积分
• 方案四，分块1点高斯积分
  
   

Code

 











Result

 

积分方案	计算结果	误差
一	7.95855	6.37%
二	8.35113	1.751%
三	8.45965	0.4747%
四	8.5	0


我们由计算结果数据可知，常规的高斯积分方案通过增加高斯积分点的数目来提高求解精度，而将计算域分块进行积分，显然比增加高斯积分点的方法更省时，精度更高！而且所需高斯积分点足够少，计算代价低~