基于Abaqus的Newton-Raphson算法
Abaqus/Standard应用Newton-Raphson算法解决非线性问题，木木本期就为同学们“尽可能”全面讲解该算法，从Abaqus内部算法到数学问题中的非线性方程Newton-Raphson算法理论，最后结合具体非线性方程给出相应的代码，如此一来，更加生动地演绎Newton-Raphson迭代过程。
Abaqusd的Newton-Raphson算法
在Abaqus隐式求解时，将载荷划分为一定数量的增量步(increments)施加于结构，每个增量步结束时寻求近似平衡解，若干次迭代后才能获得最终平衡解。Abaqus/Standard组合了上述增量和迭代过程。
Abaqus/Explicit中，默认情况下时间增量步大小完全是自动选取。在求解非线性问题时，不需要形成切线刚度矩阵，需要的是一个小小的增量步，只依赖与模型的高阶自振频率，与载荷类型和加载时间无关，无需迭代即可获得解答。
增量步和迭代步：
Abaqus/Standard可以让用户指定初始增量步大小，后继计算过程中系统会自动选择增量步的大小，在每个增量步结束时，结构处于近似的平衡状态，将计算结果，写入到.odb文件中。
平衡迭代和收敛：
在第一个增量步载荷
在更新后的构形，形成新的切线刚度
默认的容许值在整个时间段上作用与结构上的平均力的
图 1：在一个增量步中的首次迭代(源自《ABAQUS非线性有限元分析实例》庄茁 P192)
Newton-Raphson（N-R）迭代法的原理
Newton-Raphson（N-R）迭代法主要以分步逼近的方法计算，在每一增量步中，采用已得到的位移值带入并求得与位移有关的切线刚度矩阵的值，再进行线性计算，反复调整计算的载荷值与设定载荷值的差进行迭代，使其达到设定的精度。
主要步骤
Step 1：将总外载荷
Step 3：将所有载荷段循环迭代，并将结果累加。
图 2：增量步循环迭代示意图
缺点：Newton-Raphson（N-R）迭代需要每次形成切线刚度矩阵，带来比较大的计算量，这也是隐式分析相对于显示分析计算时间大大增加的重要原因。
修正方法：在自己非线性有限元编程时，可以将上述迭代过程稍加修正，将每次迭代时的切线刚度矩阵换做初始切线刚度矩阵，并且在迭代时保持不变，即可大大减少计算量，修正方法如下图所示：
图 3：Newton-Raphson（N-R）迭代法与修正的 Newton-Raphson（N-R）迭代法（源自《有限元基础教程》曾攀.P284）
求解非线性方程的Newton-Raphson算法
数学解释
非线性方程的根记为
牛顿迭代计算流程：
图 4：牛顿迭代法计算流程
Newton-Raphson迭代算法：
function varargout=newton(fun,x0,ep,maxiter)
% NEWTON 牛顿法求方程的根
if nargin<4
maxiter=500; % 默认最大迭代次数
end
if nargin<3
ep=1e-8; % 默认允许误差
end
if ~isscalar(fun)
dfun=fun{2}; % 导函数匿名函数形式
fun=fun{1}; % 函数的匿名函数形式
else
if isa(fun,'sym') % 函数以符号表达式的形式给出
dfun=matlabFunction(diff(fun)); % 导函数匿名函数形式
fun=matlabFunction(fun); % 函数的匿名函数形式
elseif isa(fun,'function_handle') % 函数以匿名函数或函数句柄的形式给出
dfun=matlabFunction(diff(sym(@(x)fun(x)))); % 导函数匿名函数形式
end
end
iter=1; % 迭代次数
xs(iter,1)=x0; % 迭代序列初始值
exitflag=1; % 迭代发散标志，1表示迭代收敛，0表示迭代发散
x1=nan; % 预置x1的初值
while exitflag
fx=fun(x0); % 计算x0处的函数值
dfx=dfun(x0); % 计算x0处的导数值
if abs(dfx)<=eps || iter>maxiter % 若导数为0或迭代次数大于最大迭代次数
exitflag=0; % 认为迭代发散，即根不可靠
break % 退出循环
end
x1=x0-fx/dfx; % 牛顿迭代计算
xs(iter+1,1)=x1; % 将迭代值依次存入迭代序列中
if abs(x1-x0)<=ep % 前后两次迭代值差的绝对值在允许的误差范围内
break % 跳出循环
end
x0=x1; % 更新迭代初始值
iter=iter+1; % 迭代次数累加
end
[varargout{1:5}]=deal(x1,... % 第一个输出参数为函数零点
fun(x1),... % 第二个输出参数为零点处的函数值及导数值
exitflag,... % 第三个输出参数为迭代收敛标志
iter,... % 第四个输出参数为迭代次数
xs); % 第五个输出参数为迭代序列实例详解
例：利用Newton-Raphson算法求解函数
图 5：非线性迭代求解
fun=@(x)exp(x)+x-5; % 函数的匿名函数形式
[x,fval,exitflag,iter,Xs]=newton(fun,3.8,1e-6); % 牛顿法求根
fplot(@(x)[fun(x),zeros(size(x))],[1,4]) % 绘制函数图形及0参考线
hold on % 图形保持
Xr=repelem(Xs,2); % 将Xs中的各元素复 制2次
Yr=reshape([zeros(size(Xs)),fun(Xs)].',[],1); % 在fun(Xs)的各元素前面插入0
for k=1:2*iter+1
plot(Xr(k:k+1),Yr(k:k+1),'k') % 动态绘制每一段线段
pause(0.2) % 暂停0.2秒
end
plot(x,fval,'k*','markersize',6) % 绘制零点
title({['Root:x*=',num2str(x)],...
['Iters:n=',int2str(iter)]}) % 添加标题以上就是木木分享关于Newton-Raphson算法相关的解释，希望对初学者对于Abaqus有进一步的理解，本文涉及的理论及代码来自以下参考文献，进一步了解还需要翻阅这些书籍。
参考文献：
[1] 庄茁. ABAQUS非线性有限元分析与实例[M]. 科学出版社, 2005.
[2] 曾攀. 有限元基础教程[M]. 高等教育出版社, 2009.
[3] 占海明. MATLAB数值计算实战[M]. 机械工业出版社, 2017.
