趣味有限元——多角度解析单元

今天木木为大家分享的是一个有限元领域中有趣的小案例——四节点平面单元，是不是乍一看好像没什么特别之处？接着往下看~

求解域是一个边长为1的二维区域，底部固定U1,U2,UR3自由度，上部受拉，以位移控制方式加载，加载位移设置为1mm。如图1所示，围绕着该模型，木木基于Abaqus使用CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST单元（CPS9由自定义单元完成），共5种演绎方式，来阐释有限元对于单元的理解，然后编写相应的UEL子程序，来掌握以上的单元概念。内容较长，请慢慢食用~

单元类型

CPS4单元，即四节点平面完全积分单元，如图2左所示。一个单元四个积分点称为完全积分单元，单元应力由积分点应力值通过形函数内插获得，单元刚度由4个积分点循环得到。CPS4R单元，即四节点平面减缩积分单元，如图2右所示。母坐标系中每个坐标方向少一个积分点，一个单元中含1个积分点，单元刚度不需要对积分点进行循环，直接带入中心的高斯坐标点与相应的权重值。

CPS8单元，称为完全积分二次单元，如图3左所示。相应的形函数为8个，对单元内      个积分点进行循环得到单元刚度矩阵。CPS9单元，即9节点平面完全积分单元，如图3右所示。在8节点单元的基础上，中心加一个节点，形函数也在此基础上增加一个：    ，单元刚度矩阵同样也是对9个积分点进行循环得到。

CST单元。为丰富单元类型，木木在矩形单元的基础上再增加一种类型单元——CST单元，如图4所示。将求解域划分为两个常应变三角形单元，刚度矩阵的形成时不需要对积分点进行循环，直接套用现成的公式，上几期我们也探讨过CST单元的概念。

UEL自定义单元。

位移、应力云图分析

位移云图分析

不同的单元在受相同荷载下，以 U2 云图为例，位移值相同。由于 Abaqus 没有内置的CPS9（二维 9 节点单元），如图5(e)，故这里使用User Element用于对比。为了丰富单元类型，将求解区域划分为两个CST单元（常应变三角形单元），如图5(d)所示。

应力云图分析

应力分析时，不同的单元类型应力云图不一样，形函数阶次、积分点分布形式影响单元应力值，而不影响位移值。从侧面反映了位移是有限元结果的求解第一变量，较应力值准确。有趣的现象：从图6(b)和图6(c)所示，一个 CPS4R 单元和两个 CST 单元的应力值相同。

UEL位移分析

基于Fortran语言，编制CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST单元的UEL Subroutine，位移值如Abaqus 分析结果一样，位移值相同。