功的互等定理

1 定理证明

如果变形体满足线弹性小变形的假设条件，那么，变形体上处于状态1时所有的外力，在状态2相应的位移方向上所做的虚功之和，等于状态2时所有的外力，在状态1相应的位移方向上所做的虚功之和。这就是功的互等定理，用公式表示就是    

其证明方法有多种，铁木辛柯的《材料力学》有证明方法。这里构造一种简单易懂的方法来证明之。考虑同一结构的两个简单状态1和2，如图1所示

▲图1

状态1中荷载P1在位置1与位置2分别产生了两个位移    和    ，状态2中荷载P2在位置2与位置1分别产生了两个位移    和    .假定状态1和状态2彼此独立，令状态1中全部外力在状态2中相应位移方向做功，则有

再令状态2中全部外力在状态1中相应位移方向做功，则有

记    为状态1的弯矩，    为状态2的弯矩.由变形体的虚功原理，有

比较两式，有    值得注意的是，不止是功的互等定理，位移互等定理，反力互等定理也由变形体的虚功原理衍生而来。

2 应用

例1

图2所示，已知抗弯刚度EI为常数，A端发生向下的支座位移Δ，求由此引起梁中点C的竖向位移。

▲图2

首先，构造两个状态。

▲图3

▲图4

由图3可知，状态1没有外力，故

由此可得

例2

图5所示，已知梁跨度为L，抗弯刚度EI为常数，A端发生顺时针的转动    ，B端发生向下的支座位移Δ.求由此引起梁中点C的竖向位移.

▲图5

首先，构造两个状态。

▲图6

▲图7

由图可知，状态1没有外力，故

由此可得