非线性 | 弧长法(Arc-Length Methods)

图1所示为弧长法求解过程，若以下标    表示第    个荷载步，上标    表示第    个荷载步下的第    次迭代，显然，当荷载增量    ,则迭代路径为一条水平直线，即为著名的牛顿-拉夫逊方法。对于图2所示的求解问题，牛顿-拉夫逊方法不能跨过极值点得到完整的荷载-位移曲线。因此，弧长法最重要的就是求荷载增量。

而弧长法的荷载增量    是变化的，可自动控制荷载，这样在原方程组的基础之上又增加了一个未知数，因此需要额外补充一个方程。如图3所示，某一荷载步迭代至收敛时总有

考虑系统方程组

在迭代过程中，    逐渐趋于0，如果这两个值都为0，则说明该荷载步的迭代已收敛。在上一个迭代收敛点(如图1中的    )将    作一阶泰勒展开

即

令    ， 则