数值积分|二元函数的高斯积分

一元函数高斯积分的积分区域为[-1,1]，二元函数的高斯积分区域为    ，也就是一个边长为2的正方形区域，称为标准区域。

考虑二重积分

利用累次积分和一元函数的高斯积分公式可以得到：

或者

这就是二元函数的高斯积分公式。其中W表示积分点权重，n表示积分点数目。n随着被积函数阶次增加而增加。

实际应用中，积分区域大多是非标准区域。比如

这时就需要将非标准区域映射到标准区域，即x = x(ξ, η),   y = y(ξ, η)

其中    是是xOy坐标系下四个顶点的坐标。    叫做形函数。

xOy坐标系下一个无限小矩形区域面积    ,而在坐标系    下的面积    

可以得到

这里

是雅可比矩阵。    的证明见高数教材。

[算例] 

利用高斯公式计算二重积分

其中0<x<2,0<y<1/2x+2 

四个顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,3),(0,2)

雅可比矩阵

采用4个积分点的高斯积分

注意这里的    是高斯积分点的坐标,    。接下来用Python编程可得到结果。毕竟数值计算都要编程的。