非线性有限元编程 | 接触（3）

本篇推文延续上一节的接触非线性内容，继续深入了解接触问题，主要做了下通用接触相关的内容，主要讲述在接触过程中如何确定接触的位置，即回答：如果有接触，接触的位置或区域在哪里？

理论基础

接触条件通常被分为法向的不可穿透性及切向的滑动摩擦。如下图所示，描述了二维情况下的与刚性表面接触行为。

 

从面边界用    表示，假定位于从面的    点与主面上的    发生接触（单点接触），接触点    可在自然坐标系内表示为

今天所要解决的问题就是，如何确定    。

第一步

寻找在从面上与    最近的点，需要用到数学手段——正交投影（orthogonal projection），即接触问题中的一致性条件：

其中，    ，是点    的单位切向量，    ，切向量可表示为    对自然坐标系的偏导，    表示的是两点之间的向量，顾名思义就是使得两条向量垂直。

以上的数学信息可能比较浓重，还请读者耐心继续往下看~

第二步

找到了最近的点之后，就要根据接触的不可穿透性判断两点的距离，判断该点是否合理。定义法向间隙函数    ：

其中，    为    的单位法向量，上式的意思就是两点之间的距离大于等于0。

若发生滑动摩擦，切向滑移量    可表示为：

上标“0”表示为在程序中初次迭代时的值。

案例分析

结合具体案例，来体会以上公式的含义。如下图所示，接触从面边界为标准二次抛物线型的曲面边界    ，假设主面上的一点为    ，试寻找在第一象限内与    最近的点    ，并计算其两点之间的距离    。

 

第一步

寻找单位切向量。点        的单位切向量    可表示为：

该公式在理论部分已注明，可理解为坐标对轴的偏导形成切向量，再比上本身的模，形成单位切向量。

第二步

寻找单位法向量。求曲面一点的法向量最快捷的方法就是向量叉乘，有关向量叉乘的数学意义应该在大一的高数教材中有所体现。如下图所示，可初步反映其数学意义，两个向量相乘之后得到的向量是这两个向量所组成平面的法向量，其模为两个向量所组成平行四边形面积。

 

第三步

一致性条件，作为约束条件求得点    。

求得    ，进而得到    。

第四步

根据不可穿透性，求得接触点距离。

使用两点间的数学公式求得距离为：

结果是一致的！

本期的内容可能理论公式比较抽象，木木尽可能以小白能接受的语言讲述，还望想要了解接触算法的小伙伴可以耐心的学习，前期可以将理论掌握扎实一点，才可以更容易后续的编程。

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