电池热管理仿真（九）:RC电路的应用下篇

1 引言

热阻网络模型（Thermal network），即用集总参数法来描述热量传递的网络图谱。该类模型一般包括热容和热阻单元。在电池热管理系统仿真中，需要计算瞬态循环工况的温升，或者验证一些热管理控制策略时，都需要建立电池的热阻网络模型。

 

然而，计算精度良好的电池热阻网络模型并不太好建，一是包含的参数众多：材料的导热系数、比热容、界面热阻、对流换热系数和换热面积等，二是需要通过CFD仿真或者测试进行模型标定。若电池模型的离散程度高，外加上整车其他系统，比如车辆动力系统、HVAC系统和控制系统，算起来一样会很慢。

 

那么，有没有一种等效的计算模型，标定起来不是那么复杂，并且具有相当的计算精度呢。那就是“传说”中的降阶模型（ROM，Reduced Order Models）LTI（Linear and time invraries）线性时不变系统。

 

2 LTI系统^[1]

首先来明确下系统的概念。从广义的角度讲，具体的系统都是一些元件、器件或子系统的互联。而从信号处理及通信等方面来看，一个系统可以看成一个过程，在其中输入信号被该系统所变换，或者说系统以某种方式对信号做出响应。

 

而信号又分为连续时间信号和离散时间信号。前一种是自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义；而后者仅正在定义在离散的时间点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。

 

在连续时间和离散时间情况下，有两个非常重要的基本信号——单位冲激与单位阶跃函数。（由于这两个函数在LTI系统中 特性一致，以下就拿连续时间信号为例。）

 

连续时间单位阶跃函数（unit step function）    定义为

并且连续时间单位阶跃是单位冲激（unit impulse function）    的积分函数（running integral），

所以连续时间单位冲激可看成连续时间单位阶跃的一次微分（first derivative）。

接下来，看下线性时不变系统，该系统具有两个重要的性质：时不变性和线性。从概念上讲，若系统的特征和行为不随时间而改变，该系统就是时不变的。将一辆汽车看成一个系统，油门踏板看成输入信号，今天我踩油门踏板，车子会走，明天我以相同的力度去踩，车子会以相同的速度前进，这就是时不变性。

 

而另一个性质就是线性。线性系统（连续时间或离散时间都适用）具有一个重要的性质就是叠加性质（Superposition property），即：如果某一个输入是由几个信号的加权组成的，那么输出的也就是系统对这组信号中每一个响应的加权和。

 

其实，上面所提到的单位冲激函数的一个重要特性是一般信号都可以表示为延迟冲激的线性组合，再与LTI系统的叠加性和时不变结合起来，就可以用单位冲激响应来完全表征一个线性时不变系统，这种表示在连续时间情况下称为卷积积分（Convolution）。

3 电池热系统LTI模型^[2]

现在我们来看个模组散热的例子，将模组看成一个整体。当给与电池    时间内一定的发热功率    ，电池就会有温升    ，那这个发热功率就是输入信号，而温度就是反馈信号。

 

如果该系统要当成LTI系统的话，就必须满足进口流量不变、电芯的密度和比热容不变等条件。可想而知，液冷系统就是个完美的LTI系统，温度对材料及工质的影响基本忽略，而风冷在一定的温度范围内也可行。

 

此外，若两个LTI系统的输入信号和反馈是一样的，我们可以说这两个LTI系统等价。这样的话，就可以找等效系统来替代复杂的电池热系统。

 

笔者曾在前序文章系统仿真中的“阻”与“容”中讨论过物理量之间的相似性，既然这样，我们就可以用RC电路来替代电池的热特性。如下图，其中电流    代表发热功率，测量外负载电流的电压就是温度信号。需要注意的是，电路中的    和    并不是电池热阻网络里的热阻和热容，需要额外标定。

 

而计算该系统的响应值就可以利用LTI系统的时不变和线性的特性，即发热功率    和该系统的单位冲激响应    的卷积积分。

那么，现在就剩下一个问题，如何求出该电池热系统的单位冲激响应。我们知道，电池的延迟冲激不好给，但是阶跃函数还是好给的，就是给电池一个定值发热功率让系统达到温度平衡就可以。既然延迟冲激和阶跃函数是一阶微分的关系，那么完全可以用阶跃响应来代替。

 

那么阶跃响应    的数学表达式即是如下方程，因为可以是N（N≥1）对RC来表示该曲线，所以用了    。

4 电池LTI ROM参数识别

一切问题都理顺了以后，就要来算电池的阶跃响应。计算电池阶跃响应的办法一般有两种：CFD仿真和测试。笔者直接用测试的方法来测下。这里也有个小问题，电池的发热量会随SOC和温度变化，较难达到平衡，所以我想了个办法，用充放电柜给了5s的脉冲充放电循环。具体如下图，该方法可以参考文章电池内阻测量方法比较。

 

最终在循环了将近一个半小时后达到了温度平衡，然后通过曲线拟合的方法识别出    和    的大小。这个跟二阶等效电路ECM的参数识别类似，而且只要识别一次就可以。

 

该测试温度曲线表示前6000s给了脉冲电流，达到温度平衡之后撤去电流，散热系统继续作用电池温度回到初始温度（环境温度）；从上图可以看出，曲线拟合的程度非常高，可以说是同一条曲线。

5 ROM与ECM耦合仿真

有了电池的LTI ROM模型以后，就可以拿来替代原先的热阻网络模型，与之前的二阶等效电路模型ECM耦合。而且不需要定义电芯及工质的材料属性，整个仿真模型就是两组RC电路。

 

ECM计算发热量，作为LTI ROM的输入，ROM算完温度返回给ECM，形成闭环。并且，由于ECM集成了温度和SOC对发热量的影响，所以能够解决电池热仿真的非线性问题。

 

最后来看下耦合计算与实际测试结果对比，发现误差很小，在0.3℃以内，最后一段算完工况后的降温曲线也吻合的很好。

 

另外，ECM和LTI系统耦合运算起来非常快，上图3个多小时（11000s）的工况的计算，LTI只花了不到一分钟，而同样的工况若采用热阻网络需要花上5分钟。

6 结论

本文论述了降阶模型中的一种，LTI系统，通过理论分析及实验论证说明电池热系统可以用其他的LTI系统表示，这个系统就是RC电路。并且LTI系统能与电池电路模型（ECM）耦合计算，大大缩短计算时间的同时能保证计算精度。但是，LTI系统，或者说RC电路仍然需要CFD仿真或者测试来标定该系统的阶跃响应，识别过程跟识别等效二阶电路RC参数类似。

参考资料