微元体！最诡异的力学模型

    微元体模型，在力学分析中非常常见，非常基本，也非常重要。学过力学的人肯定都知道这个力学模型。不知道读者有没有感受到，微元体模型其实是非常诡异的模型。或者力学老师在授课的时候，有没有提过这个观点。

    诡异之处在于：需要微元体是个点的时候，它“嗖”的一下变成点了，需要它变成体的时候，它“嗖”的一下就变成体了。亦点亦体！诡异不？你困惑不？

    你常见的微元体可能是这样的！

三维微元体

二维微元体

    但是，微元体其实还可能是这样的！

    微元体的形状并不固定。直角坐标系下，可以用六面体作为微元体；如果在极坐标下，我们又见到了环形一部分的微元体；球坐标系下，又变成了球冠的一部分。平面直接坐标系下的微元体还可能是三角形，空间问题微元体又可以取为四面体。微元体的具体取法通常会因具体问题而变，远不止上面罗列的几种情况。

    所以微元体不仅亦点亦体，而且形状多变，诡异不？你困惑不？

    无穷小量是微积分理论中的重要概念。

    微元体属于无穷小量。所以微元体既有体属性又有点属性。体属性，比如微元体有大小，在弹性力学中推导平衡方程的时候就利用了这个属性；点属性，微元体只有一个位置信息，所以我们可以描述某点的应力。

    可以这么理解：微元体无穷小，无穷小体首先是体，其次因为是无穷小，所以可以当成点。理解的秘诀在于无穷小！要有微积分的视角！

    微元体的诡异之处正是它的巧妙之处。遥想笔者读大学的时候就感到这个模型的诡异。但一直没有深入思考并且转化为文字。直到笔者知晓了贝克莱，知晓了“贝克莱悖论”。

    17世纪的一件大事就是微积分的问世，它一问世，就显示出它锐利无比的非凡威力，许多疑难问题都变得易如反掌。

    但是，微积分理论的创立是不严谨的，对作为基本概念的无穷小量的理解与运用也是混乱的。因而，微积分从诞生时起就遭到了一些人的反对，贝克莱就是那个扛大旗的。贝克莱说，这是“依靠双重错误得到了不科学但却正确的结果”，因为无穷小量在最初的微积分理论中，一会儿说是0，一会儿又说不是0。因此，贝克莱嘲笑那无穷小量是“已死量的幽灵”。

    这种攻击真正抓住了原始微积分理论中的缺陷，是切中要害的，数学史上称之为“贝克莱悖论”。

    针对贝克莱的攻击，发现微积分的数学家曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使他们陷入了异常尴尬的境地：一方面微积分在实际运用中大获全胜，另一方面其自身存在着逻辑矛盾。

    了解这段历史后，你就知道了，觉得微元体很诡异，你并不孤独，因为大哲学家贝克莱也同样觉得无穷小量很诡异。但那是在18世纪！

    学过物理都知道，光具有波粒二象性。按照这个描述方法，微元体则具有体点二象性。

    当研究微元体本身时，微元体则具有体属性。比如平衡方程，几何方程。当研究结构时，微元体在相比之下就变成了点，所以我们可以描述某点的应力，某点的应变。