手撕Buck！Buck公式推导过程
这个文章我本来没打算写的，因为之前我已经写了《手撕Boost！Boost公式推导及实验验证》，在我看来，Buck与boost是完全类似的，明白一个，另外一个也就明白了。
不过后来还是陆续有粉丝问我有没有buck，那么今天就来推导下buck的公式。毕竟大家基础也是各不相同，举一反三有时还比较困难，有现成的更好。
如果没看过手撕boost的，我建议可以先看看，因为有很多的前提条件在那里面有详尽的解释。这些前提条件在buck里面也是适用的，这篇文章就不会再赘述了，罗里吧嗦也不好。
先简要说明一下文章会说哪些内容。
Buck的拓扑结构
Buck是直流转直流的降压电路，下面是拓扑结构，作为硬件工程师，这个最好是能够记下来，了然于胸。
为啥要记下来，自然是因为这个电路太基础了，并且谁都会用到，更重要的一点，面试可能会考。。。
上图是个异步buck，同步buck就是将里面的二极管换成MOS管。
我用异步buck来分析的原因，就是觉得它要复杂一点，多了一个二极管导通压降，如果异步的明白了，那么同步的自然也明白了。
并且，根据这个拓扑推导的公式也是适用同步Buck的，只需要让公式里面的二极管压降为0即可。
首先，还是来看下工作原理。
工作原理其实非常简单，上图中MOS管就是一个开关，只要这个速度够快（开关频率够高），控制好导通与关断时间（电感充放电时间），配合输出滤波电容，就可以得到基本稳定的Vo了，也就是输出电压。
下面来看下两个过程，开关导通和开关断开。
先看开关导通
开关导通时，二极管不导通，我们看电感，电感左边是Vi，右边是Vo，因为是降压，所以左边大于右边，那么电感两端电压是Vi-Vo，为恒定值。如果把电感电流向右定义为正，那么电感电流是线性增大的，因为L*di/dt=Vi-Vo，那么di/dt=(Vi-Vo)/L=常数。
开关断开时，电感要续流，会产生反向电动势，让二极管导通，二极管导通电压是Vd。因为二极管阳极接地，所以阴极电压是-Vd，也就是电感左边的电压就是-Vd，右边的电压是Vo不变，因此电感两端电压是-Vd-Vo。此时电感电流是线性减小的，因为L*di/dt=-Vd-Vo，di/dt=-(Vo+Vd)/L=常数，并且是负值，所以是线性减小的。
推导公式
我们推导公式，是为了选型，选择输入滤波电容，输出滤波电容，电感。
那么先把已知条件列出来
首先是输入电压Vi，输出电压Vo，输出电流Vo/R，咱总得知道自己想要什么吧，所以这些在设计之初都是已知的。
其次是开关频率f，这个在芯片选型之后就是确定的了。
再然后就是设计的目标，输入纹波大小△Vi，输出纹波大小△Vo。
我们根据这些已知的量，就可以求得电感感量，输入滤波电容大小，输出滤波电容大小。
因为计算的基本原理其实就是电容和电感的充放电。所以，我们首先要求的就是开关导通的时间和断开的时间，或者说是占空比。
这个也非常简单，我们可以这么想。
在开关导通的时候，电感两端电压是Vi-Vo。
在开关断开的时候，输出端电压为Vo，二极管导通，那么电感右侧就是Vo，电感左侧接的是-Vd，所以此时电感两端电压是Vo+Vd。
整个电路稳定之后，因为负载电流恒定，那么一个周期时间之内，在开关导通时电感电流增加的量，要等于开关截止时，电感电流减小的量，即电感充了多少电就要放多少电，不然负载的电流或者电压就要发生变化。
即一个周期内，电感电流增大量等于减小量。
然后又因为U=Ldi/dt，di/dt=U/L，L不变，所以电感电流变化速度与电压成正比。
简单说就是，电感电流上升或下降的斜率与电压成正比。
斜率与电压成正比，电感电流上升的高度与下降高度又相同，那上升时间不就和电压成反比了吗？
所以，自然就有了：
Ton/Toff=(Vo+Vd)/(Vi-Vo)
我们变换一下，就得到了江湖所传的“伏秒法则”
再根据T=Ton+Toff=1/f
我们可以分别求得导通时间，关断时间，占空比。
如果是同步buck，那么Vd=0，则会见到我们经常看见的公式:
功率电感选择
我们电感选型首先需要考虑两个参数，电感感量和电感电流。
电感电流分为2个，平均电流IL和纹波电流△IL。
先看平均电流
显然，输出电压Vo基本不变，也就是说输出滤波电容两端电压没有变化，那么电容的平均电流为0，根据输出节点的基尔霍夫电流定律，节点电流和为0，那么电感的平均电流就等于负载的平均电流Io。
即IL=Io=Vo/R。
然后我们再来求电感的纹波电流△IL
从前面知道，电感电流就是个三角波，在开关导通时电感电流增大，在关断时，电感电流减小。
那纹波电流的大小求起来就简单了，就等于在开关导通时电感电流增大的值，也等于关断时电感电流减小的值。
我们就计算其中一个，计算开关导通时电感电流增大了多少吧。
这个也非常easy，开关导通，电感两端电压是Vi-Vo，导通时间Ton前面已经求出来了。
根据U=Ldi/dt就可以求出电感电流纹波△IL=di=U/L*Ton
可以看到，电感电流的纹波跟负载电流的大小没有关系。
同时呢，我们也很容易得到电感的峰值电流，就是电感的平均电流加上纹波电流的一半嘛，即ILp=IL+△IL/2=Io+△IL/2。
也就是：
计算这个峰值电流有什么用呢？
电感选型时，电感的饱和电流必须大于这个ILp，并且要留一定的裕量。
现在我们已经写出来了电感的平均电流IL，电感的纹波电流△IL，△IL应该是IL的20%-40%为宜。
即：△IL=(0.2~0.4)*IL
根据这个范围，就能求得我们的电感值范围了。
输入滤波电容计算
我们在确定输入滤波电容的时候，是有一个假设的，这个假设是什么呢？
输入电源默认来自远方，是没法提供快速变化的电流的。
实际应用中，输入电源可能距离很远，有了很长的走线，走线越长，寄生电感就越大，也就是说输入电源不能快速响应这个Buck输入电流的需求。
因此，我们在一个周期时间内，可以将输入电源的电流看作是恒定的，稳定状态下，这个电流也等于电源输入的平均电流Ii，我们先求一下电源输入的平均电流Ii。
怎么求电源的输入电流呢？
很简单，使用能量守恒定律就可以了。
不考虑MOS管的损耗的话，那么用耗电的器件有2个，一个是二极管，一个是负载R。
由工作原理可知，二极管只在MOS开关断开时有电流流过，其电流等于电感电流，并且一个周期内有电流流过的时间为Toff，所以二极管的平均电流也等于电感的平均电流，为IL=Io。
一个周期内二极管流过电流的时间为Toff，电流为IL，导通压降为Vd。
所以二极管的功率为：
Pd=Vd*Io*Toff*f =Vd*Io *(Vi-Vo)/(Vi+Vd)
负载的功率是Pr=Io*Vo
电源输入功率Pi=Vi*Ii
根据能量守恒，Pi=Pr+Pd，可以得到输入电源的平均电流Ii为：
现在已经求出Ii，在一个周期内，电源的输入电流可以看成恒定值，为Ii。
了解了这个前提条件，我们回到目标：计算输入滤波电容的容量
我们先理清下思路，输入电压纹波就是输入电容上面的电压变化。电容上面的纹波变化可以分成两个部分。
一个是电容放电或者是充电，存储了电荷量发生了变化，这个变化会导致电压变化，可以用公式Q=CUq来表示，Uq即是电压的变化。
另一个是电容有等效串联电阻ESR，电容充放电时有电流流过，电流流过ESR会产生压降，这个压降用Uesr表示吧。
所以，电压纹波应该是：
△Vi=Uq+Uesr
1、电容电荷量变化引起的压降Uq
我们看输入节点，这个节点的电流有3个，一个是来自电源Vi输入的，前面说了，在一个周期内，它可以看作是恒定的，一个节点是电容，另外一个节点是开关。
根据基尔霍夫电流定律，节点电流和为0，并且电源输入的电流恒定为Ii，那么输入电容电流的变化量必然等于开关电流的变化量，因为最终3者的和为0。
也就是说，开关断开时，开关电流为0，那么电源输入的电流全都流进输入电容，电容被充电，此时电容的充电电流为Ii。而开关导通时，电感需要续流，这个电流由电源输入和输入滤波电容二者共同提供，电容此时放电。
并且，开关切换的时候，开关电流是突变的。而三者电流和为0，那么电容的电流必然也是突变的。
我们画出三者的电流波形如下：
一个周期内，电容的充电电荷量和放电电荷量必然一样，我们计算出其中一个就行了。
显然，充电的时候更好计算，因为充电时开关断开，电容的电流就是电源的输入电流，是恒定的，为Ii。
根据Q=I*t，那么充入的电荷量为Q=Ii*Toff，电容充入电荷，会导致电压变大，这个电压的增量这里取个名字叫Uq，那么Q=Uq*C，也就是Uq=Q/C=Ii*Toff/C
最终可以求得Uq
2、电流流过电容的ESR造成的压降Uesr
想要知道ESR造成的纹波大小，我们只需要知道流过电容的电流就知道了，因为电压等于电流乘以ESR。
我们把电容的电流波形单独画一下。
这个波形下面解释下：
在开关断开的时候，电源输入电流Ii全部进入输入滤波电容，因为li恒定，因此输入滤波电容的电流就是恒定为li，此时电容充电，如果我们把充电电流定义为正，那么电流就是+li。
在开关导通之后，电感原本从二极管续流，变成了从MOS管续流，因为之前电感一直在放电，所以切换时电感电流最小，等于IL-△IL/2，在整个Ton时间段内，电感是被充电的，所以电感电流一直在增大，直到达到峰值电流IL+△IL/2。
并且在Ton时间内，电感电流走的是MOS管通路，因此，Mos管电流最大也是IL+△IL/2。根据输入节点电流和为0，这个电流等于输入电源电流Ii和滤波电容的放电电流，所以滤波电容的最大放电电流为IL+△IL/2-Ii。因为前面定义了充电电流为正，那么放电电流就为负，即滤波电容电流是：-(IL+△IL/2-Ii)。
知道了电流，ESR，那么我们就知道了纹波大小。
在开关断开时，ESR上面产生的压降是恒定的，为：Ii*ESR
在开关导通后，ESR上面产生的最大压降是：-(IL+△IL/2-Ii)*ESR
两者相减，得到的就是一个周期内ESR引起的纹波大小，也就是：
Uesr=(IL+△IL/2)*ESR
计算过程如下：
好，我们已经算出Uesr和Uq。
那么根据△Vi=Uesr+Uq，我们就可以△Vo的表达式了，如果知道△Vo，我们也能得到输入滤波电容Ci的大小或者是ESR了。
输入总的纹波公式：
这个公式看着有点复杂，有两个参数都跟电容本身有关系，ESR和容量Ci。
考虑到我们的电容实际使用情况
陶瓷电容ESR小，容量小，Uq对纹波起决定作用，所以输入纹波电压可以近似为Uq，如果我们要限定纹波不能大于△Vi，那么Uq≤△Vi。
铝电解电容容量大，ESR大，Uesr对纹波起决定作用，所以输入纹波电压可以近似Uesr，如果我们要限定纹波不能大于△Vi，那么Uesr≤△Vi
根据上面两点，我们就可以去选择合适的电容了。
陶瓷电容根据容量值去选
铝电解电容根据ESR去选
好，现在输入电容的理论计算已经搞定了，我们接着看输出滤波电容。
输出滤波电容
相比输入纹波△Vi大小，我们可能更关心输出纹波△Vo的大小，毕竟是要带负载的。同样，纹波由电容容量和ESR决定。
我们看输出节点，这个节点的电流有3个，一个是来自负载的，它可以看作是恒定的，为Io=Vo/RL，一个节点是输出滤波电容，另外一个节点是电感。
根据基尔霍夫电流定律，节点电流和为0，并且负载的电流恒定，那么电感电流的变化量必然等于电容电流的变化量，因为最终3者的和为0。
我们画出三者的电流波形如下：
根据节点电流和为0，那么输出电容的电流变化就是功率电感的电流变化（你增大时我减小，你减小时我增大）。我们从上图也可以很直观的看出来。
显然，电容电流大于0时，电容在充电，电容电流小于0时，电容在放电。并且图中也可以看到，电容充电和放电时间长度是一样的，都是周期的一半，T/2。
那充放电的电荷量是多少呢？
从前面知道，输出电容的电流变化就是功率电感的电流变化，因为电感的纹波电流是△IL，那么电容的纹波电流也是 △IL。又因为电容的平均电流是0，所以电容的充电电流和放电电流都是△IL/2。
需要注意，电容电流是在大于0时充电，电流小于0时放电，也就是图中阴影部分，充电与放电的切换的时刻并不是开关导通与断开的时候，而是在中间时刻。
然后电容放电/充电的总电荷量Q等于电流乘以时间，这不就是图中阴影三角形的面积吗？
三角形底部是时间，充电/放电时间等于T/2
三角形的高为电感纹波电流的一半，△IL/2。
所以总放电量为Q=1/2*底*高
再结合Q=CUq，即可求得Uq了。
具体计算如下图所示：
2、电流流过电容的ESR造成的压降Uesr
前面波形图知道，电容的充电电流最大是△IL/2，放电电流最大就是-△IL/2，负号表示电流方向，方向的不同，引起的压降的电压也是相反的。
那么ESR引起的总的压降是：
Uesr=△IL/2*ESR-(-△IL/2*ESR)=△IL*ESR
最终，我们求得Uesr的公式如下：
好，我们已经算出Uesr和Uq，那么根据△Vo=Uesr+Uq，就可以求出总的输出纹波大小△Vo。
根据上面两点，我们就可以去选择合适的电容了。
陶瓷电容根据容量值去选
陶瓷电容ESR小，容量小，Uq对纹波起决定作用，所以可以近似为Uq，如果我们要限定纹波不能大于△Vo，那么Uq≤△Vo
铝电解电容根据ESR去选
公式到这里就基本推完了。
公式汇总
下面把Buck所有的公式汇总下，如下图：
之前写过boost的公式推导，不过没汇总公式，现在也汇总如下：
实际电路应用
公式现在都已经推出来了，这些公式都是从拓扑结构里面推出来的，我们也会在很多芯片手册中看到这些公式，那么我们设计时，按照这些公式选择电容可以吗？
答案是：no，no，no！
原因在于，实际我们使用的器件都不会是理想的。
就陶瓷电容来说，一个直流偏压特性，可能就使得电容实际容量只有标称值的30%甚至更低。
还有电容会有ESL等参数，电路本身还有会其它的损耗等等，这些都会使得buck/boost实际输出与理论推导有较大的出入。
虽然这些公式不能直接套用，但是我们根据它们也能大致知道是个什么情况，所以其作用还是有的，我们设计时也需要去算一算的。
这些因素具体有多大的威力，以及实际电路该如何考量。因为我在之前的《手撕Boost！Boost公式推导及实验验证》一文中，进行了大量的实验以及分析，现在就不再说了，有兴趣可以去翻一翻。
