易混| 4种派克(Park)变换、克拉克（Clark）变换与基于dq轴解耦的双闭环控制的关系(一)

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基本原理

2.1  第一种Park变换矩阵

设系统三相电压如式(1)所示。

系统三相电压v_abc在abc三相静止坐标系与dq同步旋转坐标系中的关系如图1所示。

图1  第一种abc三相静止坐标系与dq同步旋转坐标系的关系

正常情况下，在abc三相电压中，a相相位超前b相120度，且a相相位超前c相240。在图1-1中，abc三相电压给人的感觉就是，a相相位超前c相120度，且a相相位超前b相240度。其实，abc三相的相序并没有改变，产生上述两种不同情况的原因在于，前一种是通过时间矢量图描述abc三相的关系，而图1是通过空间矢量图描述abc三相的关系，SVPWM中会经常用到空间矢量图，而且我觉得这与物理中描述物体简谐运动的旋转矢量法类似。

由图1可知

结合式(1)和式(2)可得

则式(3)至式(5)的关系可得到

Clark变换为：

 Clark反变换为：

将dq轴电压向αβ坐标轴投影，可得

则

所以Park变换为：

一般为了使Park矩阵可逆，会引入0轴坐标，且

则

式(14)中为d轴与相位参考轴的夹角，一般取为U_a的相角，后续还会区分怎样由PLL获取U_a的相角，以及是否需要偏移PLL输出角度。

2.2  第2种Park变换矩阵

图2  第二种abc三相静止坐标系与dq同步旋转坐标系的关系

由图2可知，由于abc坐标轴与αβ坐标轴的关系和图1中的关系相同，所以以图2为标准的Clark变换与以图1为标准的Clark变换相同，后面相同的Clark变换则不在叙述。

将dq轴电压向αβ坐标轴投影，可得

则

所以Park变换为：

对应Park反变换为：

2.3  第3种Park变换矩阵 

图3  第三种abc三相静止坐标系与dq同步旋转坐标系的关系

将dq轴电压向αβ坐标轴投影，可得

所以Park矩阵为Park反变换为：

2.4  第4种Park变换矩阵

图4  第四种abc三相静止坐标系与dq同步旋转坐标系的关系

将dq轴电压向αβ坐标轴投影，可得

所以Park矩阵为

Park反变换为：

总结

本文只对Park和Clark的等幅变换进行了简单阐述，其等功率变换同样对应着4种形式，之后有兴趣的话还会阐述。

其实，本文的关键就在于图1至图4，在知道abc三相静止坐标系与dq同步旋转坐标系的4种关系后，想要推导出4种Park矩阵，并弄懂它们之间的区别与联系也就很容易了。

为了便于读者根据文中内容，通过PSCAD或者Matlab进行仿真验证，现给出文中Park矩阵和各软件中模块的对应关系：文中第1种Park变换对应Matlab中abc/dq0模块的第1种Park矩阵；文中第2种Park变换对应PSCAD中abc/dq0模块的Park矩阵；文中第3种Park变换对应Matlab中abc/dq0模块的第2种Park矩阵；文中第4种Park变换暂未找到对应应用。而且第一种和第二种Park矩阵的q轴分量相反，第三种和第四种Park矩阵的q轴分量相反，其值互为相反数，如果有同学想要推导，可以只推导第一种矩阵，后面三种只需要对第一种进行简单的改写即可得到。

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