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有限元——The finite is the infinite！

上海艾羽信息科技有限公司

1年前浏览453

今天和大家分享我们对一些有限元概念的理解。

想要做好有限元分析，不能止步于软件操作，理论知识的学习可以帮助我们更好的拆解问题，得到想要的仿真求解。

01、什么是形函数

形函数有很多解释，一般学术上是这样解释的：

“ 尝试函数代表一种单元上近似解的插值关系它决定近似解在单元上的形状因此尝试函数在有限元法中又称为形函数。”

我们的理解是：

有限元法是用数值计算代替解析求解，以离散点的结果替代连续体的结果。有限元计算出来的是节点的结果，也是大家常说的准确计算的数值（一般是节点位移）。那么，节点的其它物理量以及非节点的结果是如何得到的——通过对应的物理公式以及插值。

在这里，我们来看一下形函数，我们如何通过节点结果插值得到其它点的物理量？利用形函数，我们可以把形函数当做基向量，那么由基向量可以得到同纬度空间内任意一点的结果。

对于一维单元线性形函数来说，单元任意一点的位移是成线性分布的，如图：

单元上任意一点的位移可以用节点值x1和x2插值得到，通过线性函数插值得到的就是一阶单元，通过二次函数插值得到的就是二阶单元（下面会进一步解释）。那么可以说，形函数是一组基向量，用以描述计算结果空间分布的函数。同时，位移值一般是计算得到的，相对准确；其它物理量根据其推导过程，相对于位移结果精度是有差异的。

02、什么是高阶单元

如果真实情况单元变形不是线性的，那么单元结果和真实结果总会存在一定误差，如右图：

此时我们有两种方式可以得到更精确的结果：

减小单元尺寸，如图用e1和e2两个单元代替原有的一个单元，此时误差（弓形面积）大大减小，但同时也增加了计算工作量；
高阶单元，高阶单元存在除端点以外更多的节点，如二阶一维单元有三个节点（两个端点和一个中点），此时的形函数取为二次函数，其形态为二次曲线，可以更好的贴近非线性变形的结果，计算量相比于减小单元尺寸而已更小。

本文介绍一些有限元分析中的一些基本概念，对于大家做有限元分析时可以提供一定的理解支持。

高阶单元虽然可以提高求解精度，但同时也会有其它问题，在做具体分析时选择恰当的单元才能得到更匹配的结果。当然，现在软件在这些选择上弱化了流程，一般以软件默认的单元类型即可满足大部分工程求解需求和精度。

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来源：艾羽科技

非线性理论 ANSYS

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首次发布时间：2023-04-29