OpticStudio中的近轴光线追迹

这篇文章介绍了OpticStudio中的近轴光线(Paraxial Rays)和傍轴光线(Parabasal Rays)，并分析了两者在计算光线追迹时的区别。

在近轴光学中，光学追迹被限制在很小的入射角和入射高度下。这是为了使简化数学计算的前提假设成立，从而使光线追迹变得非常简单。

首先第一个前提假设是关于Snell定律本身的。当光线在两种介质表面发生折射时，其折射角度符合Snell定律：

其中n为介质的折射率，q为入射角，撇号表示不同介质中的参数。当入射角非常小时满足近似关系sin(q)=q，因此Snell定律可以简化为以下线性关系：

这一简化在计算机普及之前大大减轻计算量。光学中的许多定义都是基于这一线性假设的，这类定义也称为一阶光学参数。然而随着入射角q逐渐增大，正弦函数的泰勒级数展开式：

式中的三阶及更高阶非线性项带来的影响逐渐变大，变得无法近似忽略，因而折射引入了像差。因此，光学系统的近轴光学属性或者说一阶光学参数是不考虑像差的。

第二个前提假设是，当光线在表面上的高度非常小时，我们可以近似忽略表面的曲率，并将表面假设为带有相同光焦度的平面。光学表面的光焦度为：

其中c为表面的曲率半径，由于我们将曲面假设为平面，因此我们无需考虑光线与表面交点的实际位置。

第三个前提假设是，光线入射角的正切值近似为入射角本身。这一假设的作用看起来并不明显，但更加基础。试想一根近轴光线追迹在两个平面间追迹，如下图所示。光线在前一个表面有一个初始入射高度Y，并且在Y和Z方向的方向余弦为(m,n)，则对正切函数进行tan(q)=q的近轴近似后，光线在下一表面上的高度Y’可以表示为：

近轴光线的斜率(正切值)就是光线的入射角，这也是容易忽略的一点。

近轴光学对光线追迹的计算进行了大量简化，但如果我们不考虑计算工具的辅助，直接使用近轴计算的结果，在一定情况下就会产生错误。这是因为近轴光学计算只限于旋转对称的球面透镜系统，在计算每个面的光焦度时只计算表面顶点处的光焦度，并将其等效为整个表面上的光焦度。当这些条件不成立时，我们需要使用更加通用的傍轴光线进行计算。

傍轴光线是与主光线存在非常小夹角的实际光线。这些光线在计算时采用Snell定律的展开式的全部项，因此它们是“真实”的。这些光线入射到实际的弯曲表面而不是等效光焦度的平面，并且在光线追迹中不使用近似计算。

傍轴光线由于不采用近似计算，因此可以更好的描述当前系统在孔径趋近于零时的成像效果。实际上，傍轴光线在计算时表面可以倾斜和偏心，也可以考虑非旋转对称的系统、衍射表面和梯度折射率表面等等。

许多分析在计算过程中都需要近轴参考来对实际光线进行比较。为了确保这些功能正确计算，特别是当一阶光学参数不能很好的描述系统的时候，OpticStudio会使用傍轴光线来计算当前系统在孔径趋近于零时的表现。

在实际系统中应用近轴理论总会产生许多困扰。为了进一步解释，接下来我们将分析在实际光学系统中，近轴光线追迹和傍轴光线追迹的不同计算结果，以及为什么傍轴光线追迹更加通用。

我们以示例文件中的real system.zmx文件为例。这是一个大数值孔径的显微物镜，其成像质量经过优化后接近衍射极限。最后一个表面的曲率半径由求解类型“边缘光线角度”控制，本例中该求解类型会控制边缘光线角度为-0.5：

在详细数据报告中，我们可以看到该系统的像方数值孔径(Image Space NA)约为0.447。OpticStudio中像方数值孔径的定义为“在主波长下，像方共轭空间中轴上视场近轴主光线与轴上视场Y+方向的近轴边缘光线的夹角的正弦乘以像空间介质的折射率”。在本例中，像方介质折射率为1，则像方数值孔径应为sin(0.5)=0.479，但OpticStudio中给出的计算结果为0.447，这是为什么呢？

回想一阶光学参数是如何计算的？

前文中我们提到近轴计算的前提假设3：tan(q)=q。因此近轴光线角度实际上与光线斜率相等。请参考以下宏程序计算过程及其运行结果：

在这段宏程序中，我们首先开启近轴光线追迹模式(红框标注语句)。然后通过追迹轴上视场光瞳坐标Px,Py=(0,0)的近轴主光线，计算得到光线的斜率和角度；同理追迹轴上视场光瞳坐标为(0,1)的近轴边缘光线，并计算得到光线的斜率和角度。最后根据定义计算得到像方数值孔径值。运行宏程序后结果如下图所示：

首先我们可以看到，由于本例中边缘光线角度很大，导致近轴边缘光线的斜率和角度相差较多，不满足近似相等的假设。然而OpticStudio进行像方数值孔径计算是根据该近轴光线角度进行的，这也是详细数据报告中所使用的计算方法。然而实际情况下，当求解的边缘光线角度越接近0时，近轴边缘光线的弧度值和正切值才逐渐接近。

那么最后一个曲面曲率半径求解的边缘光线角度是如何定义的呢？

这种情况下OpticStudio使用傍轴光进行计算。下图为追迹傍轴光线的宏程序，程序中首先关闭近轴追迹模式，并追迹一根非常贴近主光线的实际光线也就是傍轴光线，然后该傍轴光线的光瞳坐标与边缘光瞳的比例，对傍轴光线的角度进行缩放，最终得到傍轴边缘光线角度。

计算结果显示，傍轴计算得到的边缘光线角度值与近轴计算得到的边缘光线角度正切值相等。因此，最后一个面曲率半径求解类型中边缘光线角度的实际为近轴边缘光线角度的正切值或傍轴边缘光线的角度(单位为弧度)。

在本例中，物镜的实际孔径需要根据实际边缘光线和实际主光线进行计算。

当使用一阶光学参数时(特别是详细报告中的数据)，请时刻注意该一阶光学参数在OpticStudio中的定义。例如像方数值孔径这类参数都是在近轴条件下进行计算的，当使用一阶光学参数不能很好的描述光学系统时，该参数会造成很多误解。在近轴光学的前提假设中，光线和主光线夹角很小并且光线在表面上的高度很小，这样的话：

• Snell定律在计算式可以线性近似

• 光学表面的形状可以被忽略，并被代替为等光焦度的平面

• 光线的斜率和夹角相同

这些近似是为了简化数值计算，但缺乏通用性。Parabasal光线则是傍轴的实际光线。傍轴光线同样和主光线的夹角很小并且具有很小的光高，但在进行追迹计算时使用完整的Snell定律。

总的来说，近轴光线在追迹过程中计算每个表面的折射时都采用一阶近似，但傍轴光线是与主光线或参考光线非常接近的实际折射光线。大多数近轴数据例如EFL、F/#以及放大率都使用近轴光线计算得到的。对于实际光学系统而言每个表面顶点处的近轴光焦度有时并不能代表整个光学表面，在这种系统中近轴数据是不准确的。OpticStudio中为许多分析功能为了适用于更多的光学系统，其光线追迹都是基于傍轴光线进行的。