应力与应变分析

00 导读

    有限元结构分析离不开应力应变这两个基本概念。很多初学者说不清楚这两个概念，甚至学了一段时间后，也还是说不清，这是不应该的。

01 研究背景

如下图所示，应力应变结果的类型有很多。拿应力来说，从上到下分别为等效应力、最大主应力、第二主应力、最小主应力、最大切应力、应力强度、正应力、切应力、主应力方向、误差、薄膜应力、弯曲应力。其中等效应力是最常用的，很多有限元结构分析的初学者并不了解其它类型应力的含义(其实很多人也不了解等效应力的含义)。

笔者认为作为有限元分析软件的使用者，并不必须了解每个概念背后的理论细节和表达公式，但必须了解基本的概念和原理。

笔者认为了解应力应变的关键在于：应力应变不是标量，也不是矢量，是二阶张量。

02 二阶张量

   标量是零阶张量，只有大小没有方向，比如温度就是零阶张量；矢量是一阶张量，有大小有方向，比如位移、速度就是一阶张量；应力和应变有大小也有方向，但应力和应变不是矢量，是二阶张量。

    假设有人说某点的正应力是100Mpa，其实这句话是错误的，应该说某点X方向或者Y方向或者Z方向的正应力是100Mpa。假设有人说某点X方向的应力是100Mpa，其实这句话也是错误的，应该说某点X方向的正应力或者切应力是100Mpa。这就是因为应力是二阶张量，表达方式和之前学的矢量不一样了。

    确定一个标量，比如温度，只需要知道位置，就可以表达为某点的温度。确定一个矢量，比如速度，需要知道位置和方向，就可以表达为某点某方向的速度。确定应力，除了需要知道位置和方向，还需要知道该点的参考截面方向。垂直于这个截面的称为正应力，平行于这个截面的称为切应力，过一点可以作出无数个参考截面，所以一个点存在无数个正应力和切应力。如果正应力恰好是X方向，表明参考截面垂直于X方向，此时表达为某点X方向的正应力。应变也有类似的表达方式。

    很多人在表达应力和应变的时候出错或者不严谨，因为他们不知道应力应变不是矢量。理解标量和矢量的区别，关键在于方向这个概念；理解应力应变和矢量的区别，关键在于参考截面这个概念。

03 应力分解

    如上所述，过一点可以作出无数个参考截面，所以一个点存在无数个正应力和切应力。其实描述一点的应力状态，9个应力就够了。

    应力张量的第一、第二、第三不变量。

    在表达上对应力张量进行分解，如下所示，加号左边的称为应力球张量，加号右边的称为应力偏张量。

    平均应力。

    应力偏张量的第一、第二、第三不变量。

04 应变分解

    描述一点的应变状态，9个应变就够了。

    应变张量的第一、第二、第三不变量。

    在表达上对应变张量进行分解，如下所示，加号左边的称为应变球张量，加号右边的称为应变偏张量。

    平均应变。

    应变偏张量的第一、第二、第三不变量。

注：03应力分解和04应变分解展示的公式只为表明存在这些公式，并不表示应该记住这些公式。