过采样系列一：采样定理与过采样率

数字世界是现实世界的镜像，模数转换器ADC则是连接这两个世界的大门。采样速率是ADC重要参数之一，围绕采样速率，有一条著名的定理：奈奎斯特采样定理。

采样定理：

只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。

采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的，在1948年，信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

   

   

   

 

为方便介绍，我们统称之为采样定理。

在详细介绍采样定理之前，我们一定要知道一个非常有趣的频率现象：‘任何模拟信号，在离散化后，在频率上都会按照采样率周期性延拓。’

先抛个问题：

我们以fs=100Hz的采样率，采集一段模拟信号，得到了100个采样点，我们能够重构出原始的模拟信号，得到模拟信号的频率信息吗？

理论来讲是不可能的，模拟信号一旦经过采样离散化后，其波形就已经失真了，我们永远无法完美的重构原始模拟信号。

其中一个重要原因是，我们无法区分离散后信号的频率信息。

我们从时域和频域两个方向分别理解：‘我们无法区分离散后信号的频率信息’这句话的意义。

时域解释

下图蓝色点是采集后的一段离散序列，我们无法知道采样的原始信号是红色曲线还是蓝色点直连重构的曲线。

   

   

   

 

通常情况下，我们重构采集后的离散点方法是直接连接相邻采样点。

基于这样的方法，我们直接重构后的最低频率为fa，而理论上可以提取出（fa+n*fs）Hz的信号（n为≥0的整数，fa为原始信号频率，fs为采样频率）。

比如一段频率为fa=10Hz的模拟信号，经过采样频率fs=100Hz后，离散后的信号可以重构为10Hz、110Hz、210Hz。。。。。这个特性就是信号频率的模糊性。

频域解释

一段频率为带限为fa的模拟信号，经过采样频率fs采样后，其在频谱上的波形会按照fs周期性复现，波形见下图。

   

   

   

 

这是一个非常有趣的现象，可以看到时域的结果和频域的分析是统一的。

而这里面就隐含着著名的采样定理。

同样的，我们从时域和频域分别看下采样定理的理解。

时域分析

在时域的角度下，当一个周期采集点数少于2个时，我们直连采样点重构信号，则频率就错了；而当一个周期采集两个采样点时，采用直连的重构方式，我们起码可以得到原始信号的频率信息。

   

   

   

 

频域解释

如下图所示，当fs<2fa时，周期性复现的带限信号，会有红色重叠的地方，这会导致我们失去原始带限信号的基本频率信息，俗称频谱混叠。

   

   

   

 

如上就可以提炼出采样定理的基本要义了。

采样定理与过采样率

上文中的fa是信号的带限（信号的最大频率范围），2*fa是采样定理的基本要求；M*2*fa中，M就是过采样率，过采样率是对‘采样定理的最低采样频率’而言的。

过采样率M每提高4倍，可以让ADC分辨率B提高1bit。举例如下：

过采样率分别为4、16、64，ADC分辨率B分别会提高1、2、3bit。这个后面会继续深入介绍。

具体原理与实现，会继续更新。

然而过采样并不是一直都有效的，它也会有限制因素，这个也是后话，咱们后面一一说明。