低频能不能采到高频？采样定理指导硬件设计

香浓采样定理或者说奈奎斯特采样定理告诉我们，要以信号频率2倍以上的采样率对该信号进行采样，否则会出现频率混叠，比如对1Khz信号进行采样的话，采样率要高于2Ksps，

采样定理与傅里叶变换的具体原理请见往期文章：

过采样系列一：采样定理与过采样率

这东西看似简单，实际可以深度挖掘出很多内容，有助于指导我们进行硬件电路、软件算法的设计。

那么问题来了，如果面试官问：采样率低于信号的频率，我们可以采集到信号吗？你该怎么回答呢？

说可以采到不行，说不能采到也不行，这个问题里有隐藏的陷阱，稍不注意，就容易进坑，就中了面试官的套了。

今天咱们好好聊聊，看看采样定理与傅里叶变换如何指导我们设计硬件的。

接着上文，采样定理除了告诉我们，采样率要超过信号带宽的2倍之外，还告诉我们，连续的周期信号，经过采样离散化后，会按照采样频率，进行周期性变化，比如下图，信号的带宽为fa，采样频率是fs，采样离散化后的结果，就是fa这个信号，在频谱上，以fs为频率周期进行周期性延拓，采样回的信号，就变成了0±fa、fs±fa、2fs±fa、3fs±fa。。。

重构采样后的信号最直接粗暴的方法，是将各个采样点依次连接，作为最终结果。

上面说的是正常采样或者过采样，下面我们低采样率的情况，为简化分析，我们只介绍单边频谱。按照前文理论的介绍，采样后的信号按照fs进行周期性延拓，比如下面在频谱上的介绍，采样率fs=900 sps，信号的频率fa=1000Hz，fs不满足刚开始提到的采样定理要求，而且fs<fa，采样后的信号按照fs进行周期延拓后，如下图所示，得到了0+(fa-fs)、fs+(fa-fs)、2fs+(fa-fs)、3fs+(fa-fs)。。。离散序列，在采样率fs频带内，1Khz原始信号就变成了100Hz。

我们画出具体的波形图，会更容易理解，下图黑色实线是原始的1Khz信号，--虚线是以采样率900sps进行采样后的波形，*是以采样率500sps进行采样后的波形。可以看到，以低采样率对高频率信号进行采样，是采集到了信号的，只是会失真。同时，如果采样率小于信号频率，并且成整数倍，那么就采集不到交流信号，比如下图*曲线所示。

对上图信号进行FFT分析，--虚线是以采样率900sps进行采样后的波形，*是以采样率500sps进行采样后的波形。从频率来看，结果也是和上文分析一致的，实际上1000Hz的信号，900 sps采样后，变成了100Hz。

有同学说，为什么实际试验时低速采样率却采集不到高频信号？那是因为，信号在进入ADC之前，被进行了低通滤波，超过fs的高频成分已经被滤除了。

如下图所示，红色虚线之外的信号被抑制掉，因此本应该出现在fa-fs的频率成分就并没有出现，因此我们在设计电路时，有效的低通滤波器将会非常重要，这是指导硬件设计的重要原则之一。

恰好我手里有一块某公司的采集卡，带宽是30Mhz，最大采样率是100Msps，那我的理解就是超过30Mhz的信号是采集不到的，应该是通过硬件、软件的手段抑制的，换句话说，硬件对30Mhz以内的信号衰减有限。

我们就基于我的猜测，以10Msps的速率采集11Mhz的信号，看看结果如何。

11Mhz的信号使用10Msps的采样率，那么根据前文的分析，采集的后的信号频率应该是1Mhz，时间波形见下图，FFT变换后明显看到1Mhz的频率成分，11Mhz的信号经过10Msps采样后变成了1Mhz，与前文的分析基本一致。

那么同样的，10Ksps采样率，采集30Khz的信号会有什么结果呢？根据前文的分析，整数倍关系时，应该采集不到，实际测试结果如下图，频谱上没有看到有效频率信息。

这里我可以再额外追加一个问题，我这个带宽30Mhz的设备，100Msps采样时，可以采集到110Mhz的信号吗？

对于本文开篇的问题，如果面试官问：采样率低于信号的频率，我们可以采集到信号吗？你该怎么回答呢？

本来是想直接写答案的，后来想想，相比于结果，分析过程更重要，思路我已经写的很清晰了，归纳总结，就交给各位同学啦。