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仿真笔记——结构固有振动特性分析

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固有频率和振型

   

 


固有频率:也可称为特征频率、共振频率、主频率。

振型:结构在特定频率下的变形称为主振动模态,也可称为振型、特征型、固有型。

每一振型与特定的固有频率有关,这些结果反映结构动力特征,决定结构怎样对动力载荷做出响应。

一阶主振型

二阶主振型

三阶主振型

梁的弯曲振动

   

 

χ轴:未变形时梁的轴线,即各截面形心连成的直线。

у轴:设梁有对称平面,将对称面内与χ轴垂直的方向取作у轴,梁在对称平面内作弯曲振动时,梁的轴线只有横向位移у(χ,у)

欧拉-伯努利梁:不考虑剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲振动的影响。

Fs剪力

M:弯矩

设梁的长度ʃ,材料密度ρ,弹性模量Е,截面积和截面惯性矩为S(χ)和l(χ), 为单位长度质量,为梁的抗弯刚度。作用在梁上的分布载荷厚度为的微元体的受力状况如图所示,则可列出微元体沿у方向的动力学方程。 

  • 动力学方程

不考虑剪切变形和截面转动的影响时,微元体满足力矩平衡条件,对右截面上任意点取矩,得

略去高阶小量,得

由材料力学知,弯矩与挠度的关系为

将(3)和(4)代入(1),得到两点弯曲振动方程

若梁为等截面,则方程可化为

方程含有对空间变量χ的四阶偏导数和对时间变量t的二阶偏导数,求解时必须引入4个边界条件和2个初始条件。

  • 固有频率和模态函数

讨论梁的自由振动,因此令

得到运动方程

将方程的解写作

代入上式,得到

于是导出方程

通解为

变系数微分方程,除少数特殊情形之外得不到解析解。

对于等截面梁,上式可化为

其中,

方程(5)的解确定梁弯曲振动的模态函数,设其一般形式为

代入方程(5),导出特征方程

4个特征根为,对应4个线性独立的解为和    。由于

因此可将方程(5)的通解写成

积分常数及参数应满足的频率方程由梁的边界条件确定。

可解出的无穷多个固有频率及对应的模态函数,构成系统的第个主振动,

系统的自由振动时无穷多个主振动的叠加

其中,常数由系统的初始条件确定。

常见的约束状况与边界条件有以下几种:

  • 固定端

固定端处梁的挠度和转角等于零,即

  • 简支端

简支端处梁的挠度和弯矩等于零,即

  • 自由端

自由端处梁的弯矩和剪力等于零,即

算例:求简支梁的固有频率和模态函数

列出简支端处的边界条件

代入,

得到,

,故由以上方程组得,且得到频率方程

,解得

,所以解得

代回表达式,得到模态函数          

来源:CAE仿真学社
振动材料
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首次发布时间:2023-04-12
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