小学数学应用题——水池进排水问题
本文摘要（由AI生成）：
文章主要讨论了一个经典的小学数学应用题，即一个水池有一个进水管和一个排水管，只开进水管需要2小时放满，只开排水管需要6小时排空，从空水池开始同时打开进排水管，需要多长时间才能放满。文章指出，这个问题的答案并非简单的小学数学计算，而是需要运用流体力学的伯努利定律和连续方程，以及微积分方法。最终得出，同时打开进排水管需要3.9小时才能放满水池。文章还指出，实际问题总是很复杂的，本文的解答也只是一个理想化结果，实际应用中需要考虑更多因素。
水池进排水问题是经典的小学数学应用题。
导 读：经过了几篇略显烧脑的文章后，来一篇轻松一点的，经典的小学数学应用题。
1、问题分析
题：一个水池有一个进水管和一个排水管。只开进水管，2个小时可以把水池放满，之后关闭进水管，只开排水管，需6个小时可以把水池排空。问：从空水池开始，同时打开进排水管，多长时间可以把水池放满?
解：设水池的体积是“1”，则进水速度是1/2（1小时进1/2池子的水），排水速度是1/6（1小时排1/6池子的水）。
时间=体积/(进水速度-排水速度)=1/(1/2-1/6)=3 (小时)
答：需要3小时可以放满。
然而......
这个解答并不符合实际的情况，因为位于水池底部的排水管的排水速度并不是恒定的，而是和水的深度有关，具体关系式可以用伯努利定律得出。
当排水口的尺寸比水池小得多时，放水过程中水面下降速度很慢，这时可以通过伯努利定律得出排水速度为：
g为重力加速度，h为水面到排水口的深度。
其实这个关系式也可以不用伯努利定律，而是用势能与动能的转化得出：
用一个可乐瓶做个实验，就可以观察到排水速度随水深变化的现象。
如果把这个题干中的“排水”明确写成用水泵抽水，就可以当小学数学题了，上面的解答也就合理了。
▲ 如果是用水泵抽水，则排水速度可以恒定。
2、正式解答：
要解答这道“小学”数学题，除了要用到流体力学的伯努利定律和连续方程外，要得到最终解还需要用到微积分方法，所以......
这里给出一种求解的过程，供大家参考。
假设只开进水，放满时间为T1，只开排水，排空的时间为T2，求同时开，放满时间T。
3、先看结果：
这个过程有点复杂，用了我一个下午，最终总结成了两页纸。
先来看结果吧：
把T1=2，T2=6代入上式，得出：
也就是说，这道数学题的答案是3.9小时，而不是小学方法得出的3小时。
4、求解过程
下面给出解题过程，感兴趣的可以看一下。
5、总结
实际问题总是很复杂的，本文的解答也只是一个理想化结果。比如实际的水池放水是不可能完全放空的，总会剩下一些。还有，放水时会出现旋涡，使水面不再是平面，这些都会影响结果。
但是，用简单的笔算，大概也只能做到这样了。完
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