屈雷斯卡(Tresca)和米塞斯(Mises)屈服条件

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屈服条件又称塑性条件，它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。在简单拉伸试验中，问题是很容易解决的。即当应力小于屈服极限σ_s，时，材料处于弹性状态，当材料中的应力达到屈服极限σ_s时，可认为材料进入了塑性状态。

然而在复杂应力状态时，问题就不这样简单了，因为一点的应力状态是由六个应力分量所确定的，因而不能选取某一个应力分量的数值作为判断材料是否进入了塑性状态的标准。而是应该考虑所有这些应力分量对材料进入塑性时的影响。由于材料的屈服极限σ_s是唯一的，所以，应该以应力或应力的组合作为判断材料是否进入了塑性状态的准则。为此引进应力空间的概念，所谓应力空间就是以应力为坐标轴的空间。在应力空间中的每一点即代表一个应力状态。在应力空间中应力变化的曲线称为应力路径。根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限。在应力空间中，将这些屈服应力点连接起来就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面，这个分界面称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或称屈服条件。

关于材料进入塑性状态的原因有不同的假设。伽俐略（Galilieo）曾认为材料进入塑性状态是由最大主应力所引起的，此后圣维南（Saint—Venant）又认为最大主应变能判断材料是否进入塑性状态。这两个假说都被实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限σ_s，而材料并未进入塑性状态。这个实验结果与他们所提出的假说是矛盾的。在此之后贝尔特拉密（Beltrami）提出，当物体中的弹性能达到某一很限值时，材料便进入塑性状态，但这个假说由于将形状改变能和体积变形能混在一起考虑，因而和实验结果也是不符合的。

1864年法国工程师屈雷斯卡(Tresca)在作了一系列金属挤压实验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近于最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶体滑移而形成的。

屈雷斯卡(Tresca)提出：在物体中，当最大剪切应力τmax达到某一极限值时，材料便进入塑性状态。

当σ₁≥σ₂≥σ₃时，这个条件可写为如下形式：

上式中的k一般通过单向拉伸应力状态确定，即：

如果不知道主应力的大小和次序，则在应力空间中应写为:

在上式中，如果有一个式子为等式时，则材料便已进入塑性状态。如果将σ₁、σ₂、σ₃三个坐标轴投影到这个坐标系的等倾面上，则可得到一个互相成120°的三根轴的坐标。上式在这个坐标中，其几何表示是一个正六边形。

当σ₃=0时，可得平面应力状态下的屈服条件：

最大剪应力的假设，由于和实验结果比较一致，因而一般是被接受的。但在使用这个条件时，需要知道主应力的大小和次序应，因为这时才能求出最大剪应力τ_max，如果能知道主应力的次序，则使用屈雷斯卡条件是很方便的。因为从数学表达式来看，它是个线性的简单公式，使用它求解问题时是非常方便的。

如果不知道主应力的次序，则使用屈雷斯卡条件将有一定困难，这时最好找到一个连续函数，处理问题才比较容易。为此:

冯-米塞斯（Von Mises）提出用一个通过正六面体顶点的圆来代替屈雷斯卡条件，因为屈雷斯卡六边形的六个顶点是由实验得到的，而连接这六个点的直线却是假设的。这种假设是否合理尚需研究，因此用一个连续的圆将这六个点连接起来，则可能更合理，而且又可以避免由于折线交点处不光滑而引起的数学上的困难。

在主应力空间中，冯-米塞斯屈服条件的数学表达式为：

或改写成：

如果上式被满足，则认为材料已进入塑性状态。上式与屈雷斯卡屈服条件都不受静水压力σ₀的影响，因为如果将静水压力σ₀代入这两个式子中的各应力分量后，则在式中都将相应地被减去，而这两个式子的数学表达式没有变化，并且应力分量可以互换，这是各向同性材料的特点之一。

汉基（Hencky）于1923年指出，如果将总的材料变形能分解为形状变形能（歪形能）和体积变形能两个部分，则冯-米塞斯屈服条件相当于形状变形能等于一定常数的情况。事实上式早在1904年曾由波兰力学家虎勃（Huber）独立地提出过，因此有时称为“虎勃一米塞斯一汉”基屈服条件，简称米塞斯屈服条件。式中的常数B可以通过单向拉伸时的应力状态的屈服极限定出，因为单向拉伸时是一种特殊的应力状态，米塞斯屈服条件对这种特殊状态也同样应该适用。

当σ₁=σs，σ₂=σ₃=0时，可得: