以COMSOL为例浅谈“网格独立性验证”

以COMSOL为例浅谈“网格独立性验证”

作者：极度喜欢上课

绝大多数微分方程组是无法得到解析解的，因此有限元软件采用的都是数值求解方法（迭代计算）来计算所需求解物理场相关微分方程组的数值解。但是数值求解方法作为一种近似求解方法，其计算准确度受多方面因素影响，网格的划分就是其中一个重要的影响因素。验证网格与数值计算结果无关的过程就是“网格独立性验证”，又称为“网格无关性验证”或“网格可靠性验证”。

需要注意的是，严格意义上的“网格独立性验证”不单单需要验证网格疏密与计算结果无关，还要验证网格划分方向性，网格拓扑划分方式，网格形状等等因素与计算结果无关。但是由于“网格独立性验证”的工作量通常较大，且随着经验的积累，现有的有限元软件的网格划分技术已经能普遍适应大多数模型的分析需求，所以现在大家在仿真类型论文上看到的“网格独立性验证”通常集中在分析网格的疏密程度与计算结果的关系上，甚至可能没有“网格独立性验证”。

本文基于COMSOL官方案例“稳态传导传热-二维”[1]详细为大家讲一下通用的“网格独立性验证”过程，即网格疏密与计算结果无关的验证过程。此案例取自 NAFEMS 标准集，已经实验验证。如图1所示为模型的几何示意图，模型整体为长0.6米高1米的矩形，所涉及的物理场只有固体传热。边界条件：左边界为绝缘；下边界处的温度为 100摄氏度；上边界和右边界与0摄氏度发生对流传热，传热系数为 750 瓦每平方米摄氏度。

由于案例的几何结构为矩形，因此可以采用映射网格进行划分，如图2所示，所划分的网格质量相当高。

根据NAFEMS 标准集的数据，稳定状态下目标位置（x = 0.6 m，y = 0.2 m）处的标准温度为18.25摄氏度。如图3所示，采用稳态求解器计算所得的案例目标位置（x = 0.6 m，y = 0.2 m）的结果为18.265摄氏度，与NAFEMS 标准集的数据仅相差0.08%，COMSOL计算所得的数据已非常接近实验值。

在COMSOL官方案例设置的基础上，如图4所示，引入参数“a_1”用于控制网格大小。并在研究1中添加“参数化扫描”，用于分析a_1为1、2、4、8、16、32时案例的结果，如图5所示。

如图6所示为不同a_1取值下计算所得目标位置（x = 0.6 m，y = 0.2 m）的温度，从图中可以获得2条较为有用的信息：1、随着网格的细化，COMSOL的计算结果趋势上越来越接近NAFEMS 标准集的数据，也就是计算得越准确；2、当a_1取4、8、16和32时计算所得的结果已没有太大变化，因此继续加密网格对COMSOL计算准确性的提高已无明显帮助。因此分析下来，在计算本文的案例时建议采用a_1为4时的网格进行计算。（需要值得注意的是：本文用于演示的案例本身较为简单且计算量也小，因此可以将a_1取值为32，当计算复杂一点模型的时候，建议大家根据计算电脑的性能选取合适的a_1的值的范围。）

本文主要是想给大家起到一个抛砖引玉的效果，各位同学在用有限元软件的时候需要选择合适的网格划分方法和网格数量，用较低的计算成本获得尽可能理想的结果。在进行“网格独立性验证”的时候一定要从模型本身的实际情况出发，说句“功利性”的话，如果你是学生，请以导师的意见为准，如果你正在投稿，请以审稿人的意见为准。

参考资料

[1]https://cn.comsol.com/model/steady-state-2d-heat-transfer-with-conduction-265