【JY】钢筋混凝土正截面极限承载力设计的基本原理和快速计算方法
本文转自 筑信达-李楚舒教授高工 的文章，关于快速计算PMM相关面的新方法，对于混凝土分析有较深刻的理解，文章内容充实丰富，与各位读者分享！
[摘要] 本文从钢筋混凝土正截面极限承载力设计的基本原理出发，依据极限状态的截面应变分布，重新梳理了柱全过程破坏形态的定义，据此提出了一种快速计算PMM相关面的新方法。根据我国规范和欧美相关规范，着重对以下问题进行了对比分析与讨论：混凝土等效矩形应力图参数的应用、圆环形截面设计中的问题、中美欧规范主要对比。
[关键词] 极限承载力设计；钢筋混凝土基本原理；PMM相关曲面
1 基本原理
钢筋混凝土正截面极限承载力设计的实质就是：在混凝土或钢筋的破坏准则确定的截面极限应变状态下，通过材料的实际应力得到截面的内力，这就是钢筋混凝土正截面的极限承载能力 
。根据钢筋混凝土自身特性，混凝土的破坏准则是达到其极限压应变，钢筋的破坏准则是达到其极限拉应变。
混凝土受压破坏准则（设计）为混凝土的极限压应变
。
中美欧采用的设计本构中（对于C50之下，下同）：对混凝土极限压应变的规定，中国为0.0033，欧洲为0.0035；美国为0.003。
由于上述的不同，中美欧规范的混凝土等效矩形应力图参数
和
的数值也就不同（详见3.2节）。
的规定不同，对承载力的影响较小，但对破坏状态的判别有较大影响[6]。
对于钢筋破坏准则，美国ACI规范并未给出明确的规定[5]；我国从78规范就规定了钢筋的极限拉应变
为0.01[3]（此值合理性讨论本文从略）；而欧洲EC2规范给出了不同级别钢筋的极限拉应变
应分别大于2.5%、5.0%和7.5%[4]。
为了计算过程清晰，本文将混凝土和钢筋的破坏准则分别融入到它们各自的本构模型中。
上述三个基本假定就是钢筋混凝土正截面极限承载力设计的全部内容，适用于所有构件的正截面设计，包括：梁、柱、墙和板。
通过上述三个基本假定，加上平衡方程，理论上可以解决任意复杂正截面从初始加载到极限状态的全过程，通过加载过程来判定截面极限状态，从而实现得到截面最终的极限承载力。
2 计算方法
和弯矩 
存在相互作用问题，以下采用工程界的习惯术语“PM相关线”或“PMM相关面”来表达。
1）先给定一个初始
为定值；
2）从零开始，令
为某一值；
3）设定一压区高度
值，根据平截面假定得到各纤维单元的应变；
4）由材料的本构模型得到各纤维的应力；
5）验算截面的平衡方程（P是否等于），如不满足，需要迭代以得到P=；
6）根据截面的平衡方程，求出M，并可以得到曲率φ；
7）逐步增大值；
8）重复步骤3~7，直到
，这样就得到了P=时的M和φ；
9）对所有P范围的，重复步骤1~8，至此就能得到完整的一条PM曲线。
显然，上述算法没有考虑到钢筋的破坏准则，换句话来讲，就是忽略了钢筋的极限拉应变。目前美国ACI就是采用这种方法。
我国混凝土设计规范附录E[3]给出的算法就明确了要同时考虑钢筋的破坏准则，相当于在上述的第8）步中要同时考虑钢筋应变是否达到
。因此规范的算法更全面更合理。（顺便指出，规范附录E中存在笔误，式(E.0.1-7)和(E.0.1-8)中对
和
的定义写颠倒了。）
无论是经典教材还是规范的计算方法，都涉及到：
1）实质在做加载“模拟”，也就是做出了全过程的加载数据。但是，从极限承载力设计的角度来讲，我们只关心最终极限状态的极限承载力，即PM曲线，而不关注大量的中间过程加载数据。
2）传统算法涉及到多次嵌套的循环和迭代，效率低。
，即处于轴心受压状态，对应图5中的A点。
，混凝土下表面压应变为零，这是全截面受压的临界状态，对应图5的B点。
的极限状态，对应于图5的C点。
的极限状态，也就是混凝土和钢筋同时达到破坏状态的临界状态，对应图5的D点（注：D点的轴力可能为压，也可能为拉。参见3.2节）。
越过4号线到5号线，混凝土上表面应变从
逐步减小为零，也就是说这期间只有底部钢筋达到破坏状态。5号线为混凝土全部退出工作的临界状态，对应图5中的E点。
最后就是全截面处于轴拉破坏状态的6号线，全截面的拉应变为
，对应图5的F点。
1~6六条极限状态的控制线，通过混凝土和钢筋的材料本构模型，可知各纤维单元的应力，这样就可以直接得到截面极限承载力
，也得到图5中的各关键点A~F；在每两条控制应变线之间适当增加几条应变分布线，就可以得到精度较高、较为平滑的如图5所示的PM曲线。
上述算法可以得到PM曲线，不涉及到任何的迭代和循环。
按照图6所示，应变面沿截面旋转一个角度，就能得到另一条PM曲线。360°旋转，就能得到一个封闭完整的PMM包络面[10]，如图7所示。
根据弹塑性力学相关理论，PMM相关面应为外凸曲面。
3 相关讨论
教科书一般将ABC段都称为小偏压。本文为了区别全截面受压，单独将AB段称为“极小偏压”。
极小偏压、小偏压和大偏压阶段，都是混凝土上表面达到其破坏准则，即其应变为
，所以是“受压破坏”。而一些教材却将将大偏心受压归为受拉破坏，实质上是把钢筋进入屈服就认为钢筋破坏，这是不确切的。
从大偏拉到小偏拉，底部钢筋的应变为
，达到钢筋的破坏准则，所以是“受拉破坏”。
ACI[5]规范是这样进行划分的：底部钢筋的应变小于
为“受压控制”，应变大于0.005为“受拉控制”，之间为“过渡区域”。三种不同形态的截面承载力折减系数不同，其依据就是截面的转角/曲率不同，即延性不同。
从极小偏压、小偏压到大偏压，截面的延性是逐步增加的；从大偏拉到小偏拉，截面的转角是逐步减小的。大偏压与大偏拉的分界点（即图4中的4号线、图5中的D点），截面的转角为最大。
如图8（右）所示，可以看到从轴压开始至大偏压，截面转角（即延性）都是在不断增大，大偏压/拉临界点为最大，进入大偏拉后又逐步减小，到达小偏拉后会急剧减小至零。这与美国经典教材[15]有所不同，Jack Moehle教授只绘出了至大偏拉的一部分（图8（左）），“暗示”从大偏拉至轴拉，截面转角还将不断增大——这种认识导致了ACI规范的相关规定也不完备。
需要指出的是，大小偏压的分界点，即图4中3号线、图5中的C点，称为“大小偏压的临界点”，或“平衡点”。此点是指混凝土上表面压应变达到
，同时底部钢筋拉应变达到
，认为此时弯矩为最大。但从数学上不能够证明，对于不同截面形状、不同钢筋排布，此应变控制线得到的弯矩值最大。对于矩形对称配筋截面，临界点C的轴压比设计值为0.5左右，而非0.9；临界轴压比设计值与标准值之比为1.0左右，而非1.63[16]。
通常的概念都认为：大偏压与大偏拉的分界点（D点）位于PM的横轴M上，就是纯弯点G点；偏压与偏拉的区分是用轴力的正负号来定。
根据图4，考虑不同截面形式、钢筋的不同排布，很显然得不到“D点为纯弯”的一般性结论。因此，对于偏压与偏拉的界定，不能用构件轴力的拉压来判定。
图8 PM各点的曲率 （左图引自文献[15]；右图为CiSDesigner的结果）
同样，对于大小偏拉的判定，也不应该用力的偏心距是否位于钢筋内外来进行判定。
之所以出现上述两种错误的概念，是因为对柱全过程破坏形态没有清晰的定量描述。在破坏形态的定义中，应当采用破坏准则，而破坏准则是应变，而非应力，也不是作用力。
需要说明的是，在本节描述的柱全过程破坏形态，是我国钢筋混凝土教学的基本内容，但欧美的教科书并没有如此详细的划分。对于欧美的工程师来说，并没有大小偏压的概念，也没有大小偏拉概念，但有很强的PM概念。ACI和EC2在规范条文里，对正截面设计甚至没有一个计算公式[4-5]。
严格意义上讲，即便对于单偏压，除了极特殊的情况（比如矩形截面，仅上下两排钢筋，应变面角度为零），可以手算配筋外，绝大多数情况是不能够写出易于计算的精确公式来的；更何况，双向地震作用下柱通常为双偏压控制[17]。
的形式，根据PM相关曲线，这种表达在数学上是不严谨的，应当是 
。没有显而易见的方法能判定各内力值 
哪个更不利，只能通过考察所有内力值是否位于特定配筋截面的PMM包络面内来进行判定。3.2 等效矩形应力图参数
为了便于计算混凝土压区的作用，中美欧都采用了“等效矩形应力图”，即等效为应力为
、等效压区高度为
。由于合力相同（大小和作用点都相同），通过分段积分（分段有两个含义，一是混凝土本构曲线的分段表达，二是积分范围内混凝土作用宽度有突变也要分段，比如T形截面翼缘与腹板的结合处），即可得到这两个参数值。对于我国规范C50以下的混凝土：
，规范取
。
需要注意的是，采用规范的
和
来计算混凝土作用是有前提条件的：首先，混凝土上表面压应变为
，中和轴位于截面内；其次，应变分布从零到的整个区间，混凝土截面的宽度不变。
比如，对于任意三角形截面，可以得出：
（文献[2]给出的分别是0.922和0.845），这与矩形截面是不同的。
因此，对于极小偏压和大偏拉依然使用规范规定的和，从概念上讲是不对的。参见图4。
有的程序在进行双偏压计算，由于计算效率原因，依然采用等效矩形应力图来计算混凝土的作用，这也是不正确的。
中外教科书一般都将T形截面分为两种类型，严格来讲是有缺陷的。当
时，要根据应变
是位于翼缘还是腹板来进行分段积分，不管是哪种情况，得出的等效参数都与规范值有差别。
对于圆形截面，显然其
是压区高度
的函数，即混凝土压区圆心角πα的函数；而矩形截面和三角形截面得到的是常数。
一些文章试图推导各种非矩形截面的等效矩形应力图参数，较为典型的是文献[18]。作者在推导圆形截面的过程中，根据平截面假定，采用了
，此关系就是图4中3号线，即平衡点的极限状态应变分布，因此得出的是圆形截面一个特殊位置的，而非一般表达式。
规范给出的值是针对矩形截面的，且是对应变面转角为零的（参见图6），因此，对于特殊截面，从严格意义上讲，不能直接用规范参数值。
3.3 环形、圆形截面
也有些文章提出对环形圆形截面计算方法进行改进的建议，比如圆形截面钢筋排列的问题[19]。18版桥梁规范JTG 3362[20]也已经采用了GB50010的计算方法。
值得注意的是，EC2[4]在3.1.7条（3）款给出等效矩形应力图参数取值后，专门给出了一个注释：“如果受压区沿截面最外皮方向上的宽度是减小的话，等效应力
应当减小10%”（η对应我国规范的
）。
下面通过一本设计手册[21]上的两道圆形截面的例题来进行对比分析。
[例题4-23] 一圆形截面偏心受压构件，已知r=200 mm，混凝土为C25，
；钢筋为HRB335，
。
[例题4-24] 一圆形截面偏心受压构件，已知r=200 mm，混凝土为C25，
；钢筋为HRB335，
。
表2是这两个算例采用CiSDesigner进行设计与校核的结果对比。
可以看出，圆形截面的规范公式趋于偏不安全，小偏压更严重，这可以从前面对等效应力矩形图参数讨论得到合理解释。规范规定圆形截面纵筋数量不宜少于8根[3]，数量越多才越接近公式采用的等代钢筋环的假设，根数少时，钢筋排列对截面承载力影响较大。
3.4 中美欧规范对比
前面的讨论中涉及到了中美欧规范在正截面极限承载力设计中的一些区别，本节做一些总结性的对比。
对于材料，EC2采用材料分项系数的概念，这与我国基本一致，但我国在抗震时采用了截面承载力抗震调整系数
：我国混凝土和钢筋的材料分项系数
和
，
；EC2持久和短暂作用时，材料分项系数是
，地震作用下的材料分项系数是
。ACI采用的是“强度折减系数ϕ”的概念，不区分是否抗震，根据截面不同的延性，使用不同的强度折减系数：当钢筋拉应变小于
时，ϕ=0.65，为“受压控制”；当钢筋拉应变大于0.005时，ϕ=0.90，为“受拉控制”；之间为“过渡区域”，ϕ线性变化。
图9针对一个简单柱截面，假定中美欧的材料标准值相同，分别绘制了各个规范在非抗震和抗震时截面的PM承载力设计曲线。
可以看出：非抗震设计，我国与欧洲规范的方法一样，分别对混凝土和钢筋采用不同的材料分项系数；抗震设计，我国与美国规范的思路接近，都是对截面承载力进行整体调整。单纯从截面承载力出发，不考虑作用效应的组合，从图9可以看出，美国规范最保守，欧洲规范其次，中国规范再次。
表3归纳了中美欧规范在正截面设计中的主要异同。
