力学仿真笔记——五种常见的屈服准则及其优缺点、适用范围

屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。屈服条件在主应力空间中为屈服方程。

五种常用的屈服准则，它们分别是Tresca准则，Von-Mises准则 ，Mnhr-Coulomb准则，Drucker  Prager准则，Zienkiewicz-Pande准则。其中后三种适用于混凝土和岩土材料的准则。

1. Tresca屈服准则

当最大剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。这就是Tresca屈服条件，也称为最大剪应力条件。

规定σ1≥σ2≥σ3时，上式可表示为：

如果不知道σ1、σ2、σ3的大小顺序，则屈服条件可写为：

换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。 

这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。 

Tresca屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响。

2. Mises屈服准则

当与物体中的一点应力状态对应的畸变能达到某一极限值时，该点便产生屈服，其表达式为：

或

其中， k为常数，可根据简单拉伸试验求得：

或根据纯剪切试验来确定：

它所代表的屈服面是一个以空间对角线为轴的圆柱体，在平面上屈服条件是一个圆。这时有：

换言之当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服，该定值与应力状态无关。或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料变形时的性质，而与应力状态无关。Mises屈服准则的物理意义：当材料的单位体积形状改变的弹性能达到某一常数时，质点就发生屈服。故Mises屈服准则又称为能量准则。 

3. Mnhr  Coulomb准则

Tresca屈服条件和Mises屈服条件主要是对金属材料成立的两个屈服条件，但是这两个屈服条件如果简单地应用于岩土材料，会引起不可忽视的偏差。 

针对此，Mohr提出这样一个假设：当材料某个平面上的剪应力τn达到某个极限值时，材料发生屈服。这也是一种剪应力屈服条件，但是与Tresca屈服条件不同，Mohr假设的这个极限值不是一个常数值，而是与该平面上的正应力σn有关，它可以表示为：

上式中，C是材料粘聚强度，Φ是材料的内摩擦角。这个函数关系式可以通过实验确定。一般情况下，材料的内摩擦角随着静水应力的增加而逐渐减小，因而假定函数对应的曲线在σn-τn平面上呈双曲线或抛物线或摆线。但在静水应力不大的情况下，屈服曲线常用Φ等于常数的直线来代替，它可以表示为：

上式就称为Mohr—Coulomb屈服条件。 

设主应力大小次序为σ1≥σ2≥σ3，则上式可以写成用主应力表示的形式

4. Drucker  Prager准则

Drucker-prager屈服准则是对Mohr-Coulomb准则的近似，它修正了Von Mises 屈服准则，即在Von Mises表达式中包含一个附加项。其屈服面并不随着材料的逐渐屈服而改变，因此没有强化准则, 塑性行为被假定为理想弹塑性，然而其屈服强度随着侧限压力(静水应力)的增加而相应增加，另外，这种材料考虑了由于屈服而引起的体积膨胀，但不考虑温度变化的影响。故此材料适用于混凝土、岩石和土壤等颗粒状材料。 

在主应力空间中，D-P屈服面为一曲面，其表达式为：

上式：f为塑性势函数，I1(σij)为应力张量第一不变量，I2(Sij)为应力偏张量第二不变量，α，k为材料常数，是材料c，φ的函数，c，φ分别为材料的粘聚力和内摩擦角。

5. Zienkiewicz-Pande准则

Zienkiewicz-Pande 屈服准则是 Mohr-Coulomb 准则的改进，在 p-q 子午面和 π 平面上都是光滑曲线，不存在尖点，在数值迭代计算过程中易于处理，而且在一定程度上考虑了屈服曲线与静水压力的关系以及中主应力σ。是由Zienkiewicz、Pande 等学者在1977 年对 M-C 准则进行了修正与推广时，形成了具有 3 种曲线形式的 Zienkiewicz-Pande 准则（简称 Z-P 准则）。这主要是考虑到M-C 准则在角点处存在奇异性，即其屈服曲线在 π 平面上有尖点，使得计算过程中出现奇异，特别在有限元迭代过程中，在尖角处无法处理的问题。

1. Tresca准则

优点：当知道主应力的大小顺序，应用简单方便。

缺点：

(1) 没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响；

(2) 屈服面有转折点，棱角，不连续。

适用：金属材料

2. Mises屈服准则

优点：

(1) 考虑了中主应力σ²对屈服和破坏的影响；

(2) 简单实用，材料参数少，易于实验测定；

(3) 屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算。

缺点：

(1) 没有考虑静水压力对屈服的影响；

(2) 没有考虑单纯静水压力p对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性；

(3) 没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D效应。

适用：金属材料 

3. Mohr-Coulomb屈服准则

优点：

(1) 反映岩土类材料的抗压强度不同的S-D效应对正应力的敏感性；

(2) 反映了静水压力三向等压的影响；

(3) 简单实用，参数简单易测。

缺点：

(1) 没有反映中主应力σ²对屈服和破坏的影响；

(2) 没有考虑单纯静水压力引起的岩土屈服的特性；

(3) 屈服面有转折点，棱角，不连续，不便于塑性应变增量的计算。

适用范围：岩石、土和混凝土材料 

4. Drucker-Prager屈服准则 

优点：

(1) 考虑了中主应力σ²对屈服和破坏的影响；

(2) 简单实用，材料参数少，可以由C-M准则材料常数换算；

(3) 屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算；

(4) 考虑了静水压力对屈服的影响；

(5) 更符合实际。

缺点：

(1) 没有考虑单纯静水压力p对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性；

(2) 没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D效应；

适用范围：岩石、土和混凝土材料 

5. Zienkiewice-Pande准则

优点：

(1) 三种曲线在子午面上都是光滑曲线，利于数值计算；

(2) 在一定程度上考虑了屈服曲线与静水压力的非线性关系；

(3) 在一定程度上考虑了中主应力σ²对屈服和破坏的影响。

适用范围：岩石、土和混凝土材料