力学仿真笔记——材料力学图文全解析

理论力学分为静力学和动力学，顾名思义，这是打基础的纯理论；材料力学里面很多东西比较微观，经常会讲到到某个截面上某个微小部分的力学分析，基本上就是对某个杆件的某些截面和节点进行分析；结构力学主要涉及体系分析，分析中会忽略一些不必要的条件，比如杆件的轴向变形，而这部分在材料力学里面还专门论述过。

除此之外，还有流体力学和土力学，相对来说，流体力学用的不是很多，土力学经验公式太多了，在实践中非常依赖于经验和资料的积累。今天我们来聊一聊材料力学，有不对的地方，欢迎大家指正啊！

理论力学，研究刚体，研究力与运动的关系；材料力学，研究变形体，研究力与变形的关系。

材料力学 (strength of materials) 主要研究对象是弹性体。对于弹性体，除了平衡问题外，还将涉及到变形以及力和变形之间的关系。此外，由于变形，在材料力学中还将涉及到弹性体的失效以及与失效有关的设计准则。

将材料力学理论和方法应用于工程，即可对杆类构件或零件进行常规的静力学设计，包括强度、刚度和稳定性设计。

在工程静力学中，忽略了物体的变形，将所研究的对象抽象为刚体。实际上，任何固体受力后其内部质点之间均将产生相对运动，使其初始位置发生改变，称之为位移 (displacement)，从而导致物体发生变形。

工程上，绝大多数物体的变形均被限制在弹性范围内，即当外加载荷消除后，物体的变形随之消失，这时的变形称为弹性变形 (elastic deformation)，相应的物体称为弹性体 (elastic body)。

材料力学所涉及的内容分属于两个学科：

• 固体力学 (solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析 (stress analysis)。但是，材料力学又不同于固体力学，材料力学所研究的仅限于杆类物体，例如杆、轴、梁等。

  
  

• 材料科学 (materials science) 中的材料的力学行为 (behaviors of materials)，即研究材料在外力和温度作用下所表现出的力学性能 (mechanical properties) 和失效 (failures) 行为。但是，材料力学所研究的仅限于材料的宏观力学行为，不涉及材料的微观机理。

力学特性是指在外力作用下材料变形与所受外力之间的关系，以及材料抵抗变形和破坏的能力，这些力学特性均需通过材料试验确定。

以上两方面的结合，使材料力学成为工程设计 (engineering design) 的重要组成部分，即设计出杆状构件或零部件的合理形状和尺寸，以保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。

左：传统具有柱、梁的木质房屋结构；右：赵州桥。

桥式起重机

弹性变形与塑形变形示例

强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。对构件在荷载作用下正常工作的要求：

• 具有足够的强度：荷载作用下不断裂，荷载去除后不产生过大的永久变形（塑性变形）；

  
  

• 具有足够的刚度：荷载作用下的弹性变形不超过工程允许范围；

  
  

• 满足稳定性要求：对于理想中心压杆是指，荷载作用下杆件能保持原有形态的平衡。

材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件提供必要的理论基础和计算方法。

构件的分类：杆件、板壳、块体。

材料力学主要研究的构件从几何上多抽象为杆件，而且大多数抽象为直杆。

杆，纵向尺寸>>横向尺寸，如柱、轴、梁；直杆，轴线为直线，横截面与轴线垂直。

直杆，轴线为直线的杆；曲杆，轴线为曲线的杆。等截面杆，横截面大小形状不变的杆；变截面杆，横截面大小或形状变化的杆。材料力学中的主要研究对象是等截面杆。

(1) 均匀连续性假定

均匀连续性假定 (homogenization and continuity assumption) ，假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个空间。从微观结构看，材料的粒子当然不是处处连续分布的，但从统计学的角度看，只要所考察的物体几何尺寸足够大，而且所考察的物体中的每一“点”都是宏观上的点，则可以认为物体的全部体积内材料是均匀、连续分布的。根据这一假定，物体内的受力、变形等力学量，可以表示为各点坐标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。

• 均匀连续问题：微观不连续，宏观连续。

  
  

• 连续性假设：从受力构件内任意取出的体积单元内均不含空隙，变形必须满足几何相容条件，变形后的固体内既无“空隙”，亦不产生“挤入”现象。

  
  

• 均匀性假设：各点处材料的力学性能相同。对常用工程材料，尚有各向同性假设。

(2) 各向同性假定

各向同性与各向异性：

• 微观各向异性，宏观各向同性；

  
  

• 微观各向异性，宏观各向异性。

各向同性假定 (isotropyassumption)，假定弹性体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能。根据这一假定，可以用一个参数描写各点在各个方向上的某种力学性能（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料，如木材、胶合板、纤维增强材料等）。

大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例如金属材料，其单个晶粒呈结晶各向异性 (anisotropyofcrystallographic)，但当它们形成多晶聚集体的金属时，呈随机取向，因而在宏观上表现为各向同性。

(3) 小变形假定

小变形假定 (assumptionofsmalldeformation)，假定物体在外力作用下所产生的变形与物体本身的几何尺寸相比是很小的，甚至可以略去不计。根据这一假定，当考察变形固体的平衡问题时，一般可以略去变形的影响，因而可以直接应用工程静力学方法。

不难发现，在工程静力学中，实际上已经采用了上述关于小变形的假定。因为实际物体都是可变形物体，所谓刚体便是实际物体在变形很小时的理想化，即忽略了变形对平衡和运动规律的影响。从这个意义上讲，在材料力学中，当讨论绝大部分平衡问题时，仍将沿用刚体概念，而在其它场合，必须代之以变形体的概念。此外，以后的分析中还会发现，小变形假定在分析变形几何关系等问题时，将使问题大力简化。

如图，δ 远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。概括起来讲，在材料力学中是把实际材料看作均匀、连续、各项同性的可变形固体，且在大多数场合下局限在弹性变形范围内和小变形条件下进行研究。

(1) 外力

作用在结构构件上的外力包括外加载荷和约束力，二者组成平衡力系。外力分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力分布于整个物体内，并作用在物体的每一个质点上。重力、磁力以及由于运动加速度在质点上产生的惯性力都是体力；面力是研究对象周围物体直接作用在其表面上的力。

外力是来自构件外部的力（载荷、约束反力），按外力作用的方式分类：

• 体积力：连续分布于物体内部各点的力，如重力和惯性力；

  
  

• 分布力：连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力。

  
  

• 集中力：若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力等。

按外力与时间的关系分类：

• 静载：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静载；

  
  

• 动载：载荷随时间而变化，如交变载荷和冲击载荷。

左：交变载荷；右冲击载荷

考察两根材料和尺寸都完全相同的直杆，所受的载荷 (FP) 大小亦相同，但方向不同。那么，哪一个容易发生破坏呢？

梁将远先于拉杆发生破坏，而且二者的变形形式也是完全不同的。可见，在材料力学中不仅要分析外力，而且要分析内力。

材料力学中的内力不同于工程静力学中物体系统中各个部分之间的相互作用力，也不同于物理学中基本粒子之间的相互作用力，而是指构件受力后发生变形，其内部各点（宏观上的点）的相对位置发生变化，由此而产生的附加内力，即变形体因变形而产生的内力。这种内力确实存在，例如受拉的弹簧，其内力使弹簧恢复原状；人用手提起重物时，手臂肌肉内便产生内力等等。

为了揭示承载物体内的内力，通常采用截面法 (section method)。这种方法是用一假想截面，将处于平衡状态下的承载物体截为A、B两部分。为了使其中任意一部分保持平衡，必须在所截的截面上作用某个力系，这就是A、B两部分相互作用的内力。根据牛顿第三定律，作用在A部分截面上的内力与作用在B部分同一截面上的内力在对应的点上，大小相等、方向相反。

(1) 内力主矢与主矩

根据材料的连续性假定，作用在截面上的内力应是一个连续分布的力系。在截面上内力分布规律未知的情形下，不能确定截面上各点的内力。但应用力系简化的基本方法，这一连续分布的内力系可以向截面形心简化为一主矢FR 和主矩M，再将其沿三个特定的坐标轴分解，便得到该截面上的6个内力分量。

(2) 内力分量

FN 为轴力，产生轴向的伸长或缩短变形；FQ 为剪力，产生剪切变形；Mx 为扭矩，产生扭转变形；MB（My 或Mz）为弯矩，产生弯曲变形。

(3) 叠加原理

在一定条件下，杆件所有内力分量作用的效果，可以视为各个内力分量单独作用效果的叠加。通常可归结为三组平面内内力分量与外力：

应用平衡方法，考察所截取的任意一部分的平衡，即可求得杆件横截面上各个内力分量的大小和方向。以梁为例，梁上作用一铅垂方向的集中力FP，A、B二处的约束力分别为FAy、FB 。为求横截面m-m 上的内力分量，用假想截面将梁从任意截面m-m 处截开，分成左、右两段，任取其中一段作为研究对象，例如左段。

此时，左段上作用有外力FAy，为保持平衡，截面m-m 上一定作用有与之平衡的内力，将左段上的所有外力向截面m-m 的形心平移，得到垂直于梁轴线的外力Fˊ及作用在梁对称面内的外力偶矩Mˊ，根据平衡要求，截面m-m 上必然有剪力FQ和弯矩M 存在，二者分别与Fˊ与Mˊ大小相等、方向相反。

若取右段为研究对象，同样可以确定截面m-m 上的剪力与弯矩，所得的剪力与弯矩数值大小是相同的，但由于与左段截面m-m 上的剪力、弯矩互为作用与反作用，故方向相反。截开面上的内力对留下部分而言已属于外力。

确定杆件横截面上的内力分量的基本方法是截面法，一般包含下列步骤：

• 首先应用工程静力学方法，确定作用在杆件上的所有未知的外力。

  
  

• 在所要考察的横截面处，用假想截面将杆件截开，分为两部分。

  
  

• 考察其中任意一部分的平衡，在截面形心处建立合适的直角坐标系，由平衡方程计算出各个内力分量的大小与方向。

  
  

• 考察另一部分的平衡，以验证所得结果的正确性。

需要注意的是：

• 当用假想截面将杆件截开，考察其中任意一部分平衡时，实际上已经将这一部分当作刚体，所以所用的平衡方法与在工程静力学中的刚体平衡方法完全相同。

  
  

• 注意区别于理论力学中的内力。

由于整体平衡的要求，对于截开的每一部分也必须是平衡的。因此，作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡，组成平衡力系。这是弹性体受力、变形的第一个特征。弹性体受力后发生的变形也不是任意的，必须满足协调 (compatibility) 一致的要求。这是弹性体受力、变形的第二个特征。

弹性体的内力分量与变形有关，不同的变形形式对应着不同的内力分量。

(1) 杆件横截面上的应力

一般情形下的横截面上的附加分布内力，总可以分解为两种：作用线垂直于截面的和作用线位于横截面内的。

分布内力在一点的集度，称为应力 (stresses)。作用线垂直于截面的应力称为正应力 (normalstress)，作用线位于截面内的应力称为切应力或剪应力(shrearingstress)。应力的单位记号为Pa或MPa，工程上多用MPa。

应力就是单位面积上的内力？工程构件，大多数情形下内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

正应力、剪应力与内力分量之间的关系：

• 内力分量是截面上分布内力系的简化结果。应用积分方法，不难得到正应力与轴力、弯矩之间的关系式，剪应力与扭矩、剪力之间的关系式。

  
  

• 当外力已知时，可由平衡方程求得内力分量—静定问题。

  
  

• 当内力分量已知时，只能确定应力与相关内力分量之间的关系，却无法求得各点应力—超静定问题。

正应力与轴力、弯矩之间的关系

剪应力与扭矩、剪力之间的关系

(2) 正应变与剪应变

如果将弹性体看作由许多微单元体所组成，这些微单元体简称微元体或微元 (element)，弹性体整体的变形则是所有微元变形累加的结果，而微元的变形则与作用在其上的应力有关。围绕受力弹性体中的任意点截取微元（通常为正六面体），一般情形下微元的各个面上均有应力作用。对应于不同的应力作用引起的变形不一样，因此由其引起的应变也不一样。

取一微正六面体，两种基本变形：

• 角变形（剪切变形）：线段间夹角的变化；

  
  

• 线变形：线段长度的变化。

线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称“正应变”(NormalStrain) 和“切应变”(ShearingStrain)。关于正应力和正应变的正负号，一般约定：拉应变为正，压应变为负。产生拉应变的应力（拉应力）为正，产生压应变的应力（压应力）为负。

(3) 线弹性材料的应力－应变关系

对于工程中常用材料，若在弹性范围内加载（应力小于某一个极限值），对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元体，正应力与正应变及切应力与切应变之间存在着线性关系。

E 称为弹性模量或杨氏模量，G 称为切变模量。

(4) 杆件受力与变形的基本形式

• 拉伸或压缩：当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力载荷时，杆件将产生轴向伸长或压缩变形。

• 剪切：在平行于杆横截面的两个相距很近的平面内，方向相对地作用着两个横向力，当这两个力相互错动并保持二者之间的距离不变时，杆件将产生剪切变形。
  

• 扭转：当作用在杆件上的力组成作用在垂直于杆轴平面内的力偶Me 时，杆件将产生扭转变形，即杆件的横截面绕其轴相互转动。
  

• 平面弯曲：当外加力偶M 或外力F 作用于杆件的纵向平面内时，杆件将发生弯曲变形，其轴线将变成曲线。

• 组合受力与变形：由基本受力形式中的两种或两种以上所共同形成的受力或变形形式，即为组合受力与变形。